Trigonometria e matriz

Em [0, 2pi], o número de soluções reais de f(x) = sen2x é:


          | cosx   senx   sen4x |
 f(x) = | senx   cosx   sen3x |
          |   0         0     sen2x |


a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0


O gabarito que tenho consta a letra a, mas só consegui encontrar 3 soluções. Resolvi dessa forma: (Onde estou errando?)


- sen²x. sen2x + cos²(x).sen2x = sen 2x
-sen²x + cos²x = 1
 cos²x -sen²x = 1 


Soluções: x=0º; x=180º e x = 360º.

Olá, Ludimilla! Tentei resolver a questão e achei 5 soluções o.O. Deixarei postada minha tentativa.

Obrigada Giovana! Uma amiga me mostrou uma resolução semelhante, com cinco soluções também, o que nem consta nas alternativas, e me deixou mais confusa rs. Talvez pq simplifiquei o sen2x, e dessa forma, devo ter desconsiderado algumas soluções, mas ao msm tempo não consigo ver uma simplificação como "erro". Você sabe me dizer se isso foi errado de minha parte? Tentei substituir os outros valores na minha e não batem. Esse gabarito deve ter sido anulado, pena que não consigo achar na internet de onde é a questão.

Olha, eu não sei te dizer se é errado, mas posso te dizer que não é recomendável sair simplificando qualquer coisa, pois nesses casos quase sempre perde-se soluções. Um exemplo:

Seja a equação x²=x no conjunto dos ℝ. 

Bom, se simplificássemos o x, teríamos a seguinte solução:

x²=x
x=1

S={1}

Mas claramente, vemos que 0 também é solução desta equação, então, veja que ao simplificarmos perdemos uma solução. O ideal é:

x²=x
x²-x=0
x(x-1)=0
x'=0 ou x''=1

S={0,1}

Veja que desse modo, sem simplificar, não perdemos nenhuma solução. Uma coisa que eu tenho sempre em mente é: "A única coisa que eu simplifico em equações são números.", ou seja:

2x²=2x
x²=x

S={0,1}

Perceba que ao simplificar o 2, ainda assim eu não perco nenhuma solução.

O mesmo vale para equações trigonométricas, nas quais simplificar nem sempre é muito interessante, principalmente pela quantidade de soluções que essas equações podem ter.

Entendi! Muito obrigada Giovana! Me ajudou bastante, não somente com esta questão mas mudou meu pensamento de resolução!

De nada!

Não entendi em nada essa questão.
Nesse caso o quê seria a matriz que resulta em sen(2x)?

Nossa, nem lembrava dessa questão hahaha

Basicamente, o problema consiste em igualar uma função, f(x), ao determinante de uma matriz. Ao fazer isso você cai em uma equação trigonométrica. Daí você desenvolve a equação até achar as soluções.

Tentei fazer a conta e parei em (cos x+sen x)(cos x-sen x)=1, como continuo?

Continuando a equação [sen(x+90)+sen x]*[sen(x+90)-sen x]=1, achei somente S={0}.