a altura do trapézio

Um trapézio retângulo tem diagonais de medidas 9 e 12, e a distância entre o cruzamento das diagonais e o lado vertical do trapézio mede 3. Qual é a altura deste trapézio?

Sem gabarito, ainda estou tentando uma resposta exata.

Entre o cruzamento das diagonais e qual dos lados?

Qualquer um. Você pode escolher. Eu prefiro o lado reto (vertical) ... he he, na verdade a medida até os dois lados é igual -- mas essa dedução fazia parte do exercício!
E obrigado pelo interesse.

Beleza, como eu acho que isso não é intuitivo, vou tentar fazer pra cada um dos casos. Espero que não fique chateado comigo se a solução vier por meios "não ortodoxos" (ou seja, sem usar apenas plana)  hahahahaha
Abraço!

Update: aparentemente, é exigida uma álgebra pesada. Não consegui enxergar nenhuma sacada que facilite os cálculos ou até mesmo permita resolver com poucos deles. Joguei a equação na qual cheguei no wolfram e as raízes exatas são simplesmente incalculáveis de tão grande que são suas expressões e radicais. Muito provavelmente, não há uma solução minimamente agradável nos padrões que procuramos...

Seja QRST o trapézio sendo QR = B = base maior, ST = b = base menor
Seja QT = x o lado vertical (altura do trapézio)
Seja P o ponto de encontro das diagonais e seja PE = 3 a distância de P ao lado QT

QS = 9 ---> RT = 12

QT² = QS² - ST² ---> x² = 9² - b² ---> x² = 81 - b² ---> I
QT² = RT² - QR² ---> x² = 12² - B² ---> x² = 144 - B² ---> II

I = II ---> 81 - b² = 144 - B² ---> B² - b² = 63 ---> (B + b).(B - b) = 63

Existem três possibilidades inteiras para (B, b)---> (63, 1), (21, 3) e (9, 7)

B + b = 63
B - b = 1 ---> B = 32 , b = 31 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 31² ---> Não serve

B + b = 21
B - b = 3 ---> B = 12 , b = 9 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 9² ---> Não serve

B + b = 9
B - b = 7 ---> B = 8 , b = 1 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 7² ---> x = 4.√2

Elcioschin, sua solução satisfaz o enunciado quanto às diagonais, mas não vejo nada que garanta que a distância do ponto de encontro delas ao lado seja 3.

Você está certo Ashitaka. A questão é bem mais complicada.

Obrigado pelo interesse, Élcio.

Você é o Ashitaka estão certíssimos: a questão é bem mais complicada.
Na verdade já tenho uma resposta a qual não me satisfaz; isso porque ela chega numa equação quártica e jogando a tal eq. numa dessas calculadoras obtemos duas raízes reais e a única que serve dá x≈7,8....(se não me falha a memória). O que procuro é uma resposta exata, algo com radicais ou o que for necessário, e também não consegui fatorar a quártica obtendo duas quadráticas.

Mas deve haver um jeito, acredito, é questão de burilar a geometria até achar o caminho adequado -- não me conformo em ficar dependente de uma "álgebra pesada", como disse corretamente o Ashitaka.

Expus a questão aqui porque não estou com muito tempo para me dedicar a ela; e também nada adianta ficar martelando a mente com o foco numa única coisa (este é o caminho para a loucura, he he) -- ou, talvez, tal desafio não seja para o meu bico. Ajuda sempre é bem vinda.

Medeiros, algo com radicais você vai obter, mas não acredito que seja algo que consiga chegar na mão. Não são todos os problemas que admitem uma resposta na qual consigamos chegar "normalmente" e, ainda, não são todas equações que admitem raízes expressas através de radicais (não é esse o caso).

Veja, eu fiz uma abordagem que permitiu uma fácil análise do que acontece em cada caso (considerando que 3 seja a distância a qualquer lado que não seja "o inclinado"):




Solução do caso 1: link
Solução do caso 2: link
Solução do caso 3: link

O caso 1 é aquele o qual você disse ter mais interesse. A única raiz que satisfaz é, de fato, aproximadamente 7,8. Contudo, seu valor real não é nada amigável. Aqui está um pedaço dela, porque inteira não coube no print:


O pior é que todos os casos dão raízes desse tipo como resposta. Ou seja, o exercício não foi feito para ter um caso no qual fosse bonito. Outro fato digno de nota: segundo os valores fornecidos como resposta, a solução 7,8 é única. Os casos 2 e 3 não fornecem valores plausíveis para medidas. Daí, ao contrário do que você havia dito, a medida até os outros lados não é igual. Aparentemente, tal trapézio é único e só pode medir 3 se for do ponto até ao lado vertical.

"Caraca", Ashitaka, que mostrengo feio! Sinceramente, se um bicho desse pula o muro lá de casa, dou-lhe três tiros de 18, he he he.

Obrigado pelo seu trabalho.

Eu não sabia que podíamos jogar equações nesse tal de wolfram e ele resolvia pra gente (nunca usei). De fato, o link 1 é o único que se aplica. Mas quando pedi a exact form não consegui ver a do "h" em nenhum dos três links, apenas no seu print. De qualquer forma acho que o valor 7,8... é mais ou menos esse que você obteve. Joguei fora meus cálculos anteriores (porque resolvi recomeçar do zero) e não tenho mais a equação de 4° grau para verificar. Também não sei qual calculadora usei (usei uma da internet que o Google retornou) mas ela não tinha opção dessa forma exata que você trouxe.

Realmente esta questão não tem nada de simples ou inocente. Pretendo retomá-la no fim de semana e vou, também, refazer as contas para recuperar a quártica -- quem sabe com ela o wolfram dá uma resposta mais digerível. O que não gostei foi obter como resposta um decimal sem fim (o 7,8...) mas, também, não gostei nada desse dragão de razões e radicais. Mas vou continuar perseguindo uma solução sem tanta álgebra.

Quanto aos seus cálculos, entendi mais ou menos o que você fez no caso 1 mas não entendi os outros dois. Porém vou lhe mostrar que, para qualquer trapézio, o encontro das diagonais é o ponto médio do segmento paralelo às bases.