infinitos radicais

por **mauk03** Sex 26 Ago 2016, 18:26

Encontre o valor de $\sqrt{1+\sqrt{\frac{9}{8}+\sqrt{1+\sqrt{\frac{9}{8}+\cdots }}}}$ .

Resposta:

por **Elcioschin** Sex 26 Ago 2016, 23:03

Vou começar:

x = expressão dada

Note que, à direita do primeiro 9/8 à esquerda, a expressão volta a ser x

Um possível caminho: elevar ao quadrado:

x² = 1 + √(9/8 + x)

x² - 1 = √(9/8 + x) ---> Elevando novamente ao quadrado

(x² - 1)² = 9/8 + x

x⁴ - 2.x² + 1 = 9/8 + x

8.x⁴ - 16.x² - 8.x - 1 = 0

por superaks Seg 15 Jan 2018, 15:02

Aproveitando o que o mestre já começou.

8x⁴ - 16x² - 8x - 1 = 0

8x⁴ = (4x + 1)²

2√2x² = ± (4x + 1)

Como x > 0, temos.

2√2x² - 4x - 1 = 0

x = (4 ± √(16 + 8√2))/(4√2)

= (4 ± 2√(4 + 2√2))/(4√2)

= √2/2 ± √(8 + 4√2)/4

= √2/2 ± √(2 + √2)/2

= 1/2 . (√2 ± √(2 + √2))

Note que 2 + √2 > 2, logo, √(2 + √2) > √2.

Como x é positivo, temos que:

x = 1/2 . (√2 + √(2 + √2))

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