Radicais Infinitos

por Dela Corte Sáb 29 Jun 2013, 13:58

Qual é o maior valor positivo para n, n < 1000, onde a seguinte expressão resulta num valor inteiro e positivo?

Radicais Infinitos %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%7Bn%2B%5Csqrt%7Bn%2B%5Csqrt%7Bn%2B...%7D%7D%7D

por **VictorCoe** Sáb 29 Jun 2013, 15:17

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}}...=k$

${n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}}...=k^2$

$n+k=k^2$

$k=\frac{1\pm \sqrt{1+4n}}{2}$

Como ele quer valores positivos:
$k=\frac{1+ \sqrt{1+4n}}{2}$

por **Euclides** Sáb 29 Jun 2013, 15:23

Atenção VictorCoe: pede-se o maior valor positivo de n<1000 para que k resulte inteiro.

Achei n=992.

por **VictorCoe** Sáb 29 Jun 2013, 15:57

Sim, exato Euclides, nisto, k resulta em 32. Poste sua solução. Smile

por **Euclides** Sáb 29 Jun 2013, 16:12

Partindo do valor de k

$k=\frac{1+ \sqrt{1+4n}}{2}$

para n=1000

$\\ \sqrt{1+4000}=63,25\\\sqrt{1+4n}=63\\1+4n=3969\\4n=3968\\n=992$

por Dela Corte Sáb 29 Jun 2013, 20:02

Muito obrigado, pessoal.

por B-Johnn Dom 30 Jun 2013, 15:48

Não entendi a segunda passagem do Vitor.

por B-Johnn Qua 03 Jul 2013, 21:35

alguém?

por **Elcioschin** Qua 03 Jul 2013, 21:56

Ele elevou ao quadrado ambos os membros:

n + \/(.......) = k² ---> O novo radicando vale k (igual ao original)

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