base e dimensão

por Menin Ter 16 Ago 2016, 13:09

Considere o subconjunto S={(x,y,z)/z=x+y}
Prove que S é um subespaço de R³ e dê a base e dimensão de S.

por **Jader** Qui 18 Ago 2016, 08:57

Para mostrarmos que S é subespaço de R³ temos que verificar se toda combinação linear de elementos de S ainda continua em S.

De fato,

$Seja~u=(x_{1},y_{1},x_{1}+y_{1}),v=(x_{2},y_{2},x_{2}+y_{2})\in S~e~\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\\\\\alpha u+\beta v=\alpha (x_{1},y_{1},x_{1}+y_{1})+\beta(x_{2},y_{2},x_{2}+y_{2})\\=(\alpha x_{1}+\beta x_{2},\alpha y_{1}+\beta y_{2},\alpha (x_{1}+y_{1})+\beta (x_{2}+y_{2})) \\=(\alpha x_{1}+\beta x_{2},\alpha y_{1}+\beta y_{2},(\alpha x_{1}+\beta x_{2})+(\alpha y_{1}+\beta y_{2}))\in S$

Logo, concluímos que S é um subespaço de R³.

Para determinar uma base de S, vamos partir da definição de cada vetor de S, ou seja,

$u=(x,y,x+y)=(x,0,x)+(0,y,y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)\\\\\therefore B=\left \{ (1,0,1),(0,1,1) \right \}~\acute{e}~uma~base~de~S.$

A dimensão nada mais é do que o número de vetores que formam a base do espaço, portanto a dimensão de S será 2, ou seja,

$Dim_{S}=2$

base e dimensão

base e dimensão

Re: base e dimensão

Um fórum livre e democrático.