Subespaço Vetorial

por **alansilva** Ter 12 Jul 2016, 07:21

Olá
Bom dia

Se V é um espaço vetorial e S é um subconjunto que é fechado sob operações de adição e multiplicação po escalar em V (isto é, se v, w $Subespaço Vetorial Mathtex$ $Subespaço Vetorial Mathtex$ e a $Subespaço Vetorial Mathtex$ $Subespaço Vetorial Mathtex$ , então v+w $Subespaço Vetorial Mimetex$ $Subespaço Vetorial Mathtex$ e av $Subespaço Vetorial Mimetex$ $Subespaço Vetorial Mathtex$ ), então S é um subespaço de V ( e, em particular, S é um espaço vetorial).

Seja V= $Subespaço Vetorial Mimetex$ e S={x, (x+1): x $Subespaço Vetorial Mathtex$ $Subespaço Vetorial Mathtex$ }.
S é subespaço de V???

por **gabrieldpb** Qua 13 Jul 2016, 00:25

Seja u=(x,x+1) e v=(y,y+1)

u+v=(x+y,x+y+2)=(x+y,x+y+1+1), logo u+v não faz parte de S
au=(ax,ax+a)=(ax,ax+1+(a-1)), logo au, não faz parte de S

logo, S não é subespaço vetorial.

por **alansilva** Qua 13 Jul 2016, 07:02

Obrigado

por **alansilva** Qua 13 Jul 2016, 13:40

o zero também não faz parte desse S, então S não é subespaço?
Se não tiver o zero já basta para que S não seja um subespaço?

por **gabrieldpb** Qua 13 Jul 2016, 16:08

Não, nada a ver. Para ser subespaço tem que satisfazer aquelas duas condições. Esse negócio de zero pertencer ou não, é uma consequência apenas.

por **alansilva** Qua 13 Jul 2016, 16:49

https://www.youtube.com/watch?v=e-lY-MSfeS4

por **gabrieldpb** Qui 14 Jul 2016, 17:39

Concordo contigo amigo, se S é subespaço, todo elemento v de S quando multiplicado por um escalar a deve pertencer a S. Se a propriedade não for válida para a=0, então S não é subespaço.
No entanto, para se provar que S é subespaço, tem que mostrar aquelas duas propriedades. O lance do zero acaba sendo uma consequência. Tipo, numa questão discursiva não sei se o professor aceitaria a solução somente por esse argumento.

Abraço