Análise combinatória - (números em grupos)

por **aryleudo** Dom 06 Fev 2011, 17:38

Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos. Qual é o valor de n?

Spoiler:

por **Euclides** Dom 06 Fev 2011, 18:50

Oi Aryleudo,

acho que o problema se resume em saber quantos conjuntos de 4 elementos podemos formar com 8 algarismos:

$\dpi{120} C\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!4!}=70$

por **aryleudo** Dom 06 Fev 2011, 19:06

Certo mestre Euclides, entendi o que o seu raciocínio.

Minhas considerações foram encontrar o número de possibilidades de se formar dois conjunto de 5 elementos com os 10 elementos dados em seguida encontrei o número de possibilidades de se formar conjuntos com 1 e 8 ao mesmo tempo então os subtrai.

Em tese não era para dar o mesmo valor?

por Paulo Testoni Dom 06 Fev 2011, 19:17

Hola Aryleudo.

Veja as alternativas dessa questão.

(MACK) Separam-se os números de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos, o valor de n é:
a) 20 b) 35 c) 70 d)140 e) 200

Solução:

C10,5 * C5,5, note que quando se monta o primeiro conjunto o segundo por si só fica definido.

Temos os números: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10}. Vamos deixar o 1 e o 8 de fora desse conjunto. Temos, então: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 e 10}, ficamos com 8 números. Vamos combiná-los 4 a 4, assim:

C8,4 * C4,4 = 70*1 = 70. Note que se colocarmos o número 1 no primeiro grupo o 8 automaticamente fica no outro grupo. Ou vice-versa.

por **aryleudo** Dom 06 Fev 2011, 20:06

Muito grato pelos esclarecimentos mestres Euclides e Paulo.

Perdão aos demais participantes desse fórum, mas o "expert" em Análise Combinatória do PIR2 chama-se Paulo Testoni.

Sucesso a todos,

Aryleudo (Ary).

por Paulo Testoni Seg 07 Fev 2011, 17:43

Hola aryleudo.

Agradeço as suas bondosas palavras mas não me considero dessa forma, até porque há outros colaboradores melhores do que eu. Se vc dissesse que eu sou regular já estaria de bom tamanho.
De qualquer forma sou grato pela sua colocação.

por phsubi Ter 16 Set 2014, 16:36

Olá! Por que temos que fazer C8,4? Não deveria ser C8,5? E se retirarmos o 1 ou o 8 do primeiro conjunto não deveria ficar C9,5?

por phsubi Ter 16 Set 2014, 17:04

Desculpe o vexame. Entendi agora. O 1 e o 8 devem ficar em conjuntos diferentes, e devem ser escolhas fixas. Logo para o primeiro conjunto temos C8,4. Para o segundo conjunto temos o que sobrou dos 4 escolhidos para o primeiro conjunto, então fica C4,4. Muito obrigado.

por Victor Giovanni Dom 29 Jan 2023, 09:11

Eu achei 140, pois pensei em duas hipóteses: ou o 1 está no 1º grupo e, consequentemente, o 8 no 2º ou o 1 no 2º e o 8 no 1º. Por que meu raciocício está errado?