Aritmética

Quando 4444^{4444} é escrito em notação decimal, a soma de seus algarismos é A. Seja B a soma dos algarismos de A. Encontre a soma dos algarismos de B.

Putz esse foi difícil... 


Vamos começar com uma aproximação.



Portanto  tem menos que 17776 dígitos. Isso nos mostra que  , porque se todos os dígitos forem iguais a 9 esse é o valor máximo possível.

Agora temos que descobrir o número A que maximiza a soma de seus dígitos. Como A tem que ser no máximo 159975, então é fácil ver que o máximo ocorre quando A=99999, logo B ≤ 45. 
Seguido a mesma lógica, vemos que entre todos os números menores ou igual a 45, o número que maximiza a soma dos dígitos é 39. Portanto a soma máxima dos dígitos de B é 12.

O que descobrimos até aqui é que a soma dos dígitos de B está entre 1 e 12.


Isso nos mostra que há uma alta probabilidade da resposta estar entre 1 e 9. Com isso em mente, podemos descobrir a resposta do problema achando a raiz digital de .

Copiando da Wikipédia para quem não conhece:

Raiz digital:

Antes de avançar, precisamos saber o que a operação modulo significa. Para quem não conhece, outra cópia da Wikipédia:

Operação módulo (mod):

Um método utilizado para achar a raiz digital de número grandes ( é bem grande rs) é usar a fórmula de congruencia da raiz digital, que é:

Onde dr(n) é a raiz digital de "n", que no caso é
 
É fácil provar por que essa fórmula funciona. Como , então . Portanto, os algarismos de um número podem ser somados independentemente da posição deles no número. Por exemplo, com um número de 3 algarismos abc:


Existe uma propriedade que diz que
Portanto 


Para descobrir o resto da divisão de 823543 por 9, podemos fazer 

Logo o resto é

Finalmente, chegamos à resposta!  A soma dos algarismos de B é 7.