Análise Combinatória

por Carolina. Seg 16 maio 2016, 09:46

Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos . Dizemos que F = {A1, ..., Am} ; P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas:

I. Ai ≠ Ø, i = 1, ..., m
II. Ai " Aj = Ø, se i ≠ j, para i,j = 1, ..., m
III.A = A1 : A2 : ... : Am

Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai ) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine:
a) As ordens possíveis para uma partição de A
b) O número de partições de A que têm ordem 2

por **Ashitaka** Seg 16 maio 2016, 10:34

a) As ordens podem ser 1, 2, 4, 8.
b)
Escolhido o primeiro elemento, há 7 modos de escolher seu par.
Escolhido o segundo, há 5 modos de escolher seu par e assim sucessivamente.
R: 7*5*3*1 - 105.

Outro modo:
O número procurado é o mesmo do número de modos de separar 8 elementos em 4 grupos de 2 elementos cada.
8!/(4!*2^4) = 105.

por Carolina. Ter 24 maio 2016, 09:41

Entendi a letra b ! Só não entendi porque como vc descobriu as ordens que podem ser da partição de A )=

por **Ashitaka** Ter 24 maio 2016, 10:02

Não fique triste; vamos lá.

F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k para todo k. Ou seja, F é uma partição de ordem 2 se todos os conjuntos que compõem a partição tiverem 2 elementos.

Se temos 8 elementos, de quantos modos podemos dividí-los em grupos de forma que todos os grupos tenham a mesma cardinalidade?

1 grupo com 8 ---> ordem 8
2 grupos com 4 --> ordem 4
4 grupos com 2 --> ordem 2
8 grupos com 1 --> ordem 1

Basicamente, o número de ordens possíveis para um conjunto com n elementos é o número de divisores positivos de n.