p(x)=2x⁴-ax³+19x²-20x+12 divisível por (x-p)2

O polinômio p(x)=2x⁴-ax³+19x²-20x+12 é divisível por (x-p)², onde a e p são inteiros positivos. Determine a e p.


P=2 e a=10

Oi amigo, tudo bem?

Conhece essa regra:

Se um polinômio p(x) é divisível por outro q(x) que contenha uma raiz b cuja multiplicidade seja m, então todas as derivadas de p(x) até a ordem m-1 serão divisíveis por (x-b). Isso equivale a dizer que todas as derivadas de ordem até m-1 de p(x) terão b como uma das raízes.

No nosso caso, (x-p)² tem uma raiz p de multiplicidade 2, logo p(x) e p'(x) serão divisíveis por x-p, ou seja, admitirão p como raiz.

Vamos calcular antes p'(x):

p'(x)=8x³-3ax²+38x-20

Pelo que eu disse, p(p)=p'(p)=0

\left\{\begin{matrix} 2p^4-ap^3+19p^2-20p+12=0\\  8p^3-3ap^2+38p-20=0 \end{matrix}\right.

Vamos multiplicar a primeira equação por p/3 e subtrair a primeira da segunda:

\frac{2p^4-19p^2+40p-36}{3}=0

2p^4-19p^2+40p-36

Se um polinômio admite raízes reais, ou seja, na forma q/r, então o coeficiente do termo independente é divisível por q e o coeficiente do termo de maior grau é divisível por r. No caso, 36 é divisível por 
±(1,2,3,4,6,9,12,18,36)

e 2 por
±(1,2)

Logo, nossas possibilidade para a raiz p é
±(1,2,3,4,6,9,12,18,36,(1/2),(3/2),(9/2))

Como p é inteiro positivo, nossas opções se resumem a
1,2,3,4,6,9,12,18,36

Testando para p=1
2*(1)⁴-19*(1)^2+40*(1)-36=-13
Não é raiz

Testando para p=2
2*(2)⁴-19*(2)^2+40*(2)-36=0
É raiz!

logo, p=2

Substituindo no nosso sistema, encontramos a=10.

Poderíamos ter resolvido pelo dispositivo de Briot-Ruffini

Colocamos o coeficientes de p(x) no dispositivo e procedemos:



Observe que o que fizemos foi dividir p(x) por x-p duas vezes. A cada divisão obtivemos um resto, designado pelos balões vermelhos. Como o polinômio é divisível por x-p duas vezes, os dois restos devem ser zero!

Dessa forma obtemos o mesmo sistema da primeira solução:

\left\{\begin{matrix} 2p^4-ap^3+19p^2-20p+12=0\\  8p^3-3ap^2+38p-20=0 \end{matrix}\right.

E assim prosseguimos da mesma forma de antes.

Abraço!

Muito obrigado! Tive dúvida para resolver o sistema e ainda estou alcançando algumas seções que você utilizou, mas vlw, fantástico!