Plano de Argand-Gauss

Os números z e w têm módulos |z|=|w|=1.

Se z,w e seu produto zw formam, no plano de Argand-Gauss, os vértices de um triângulo equilátero, é correto afirmar que:

A) z é real.
B) w=+- 1 ou w=+-i.
C) zw é um imaginário puro.
D) a parte real de w é positiva
E) z e w são complexos conjugados. (gabarito)

Vamos tratar os complexos de modo a utilizar pares ordenados:
z = |z|*[cos(θ₁)+i*sen(θ₁)]
w = |w|*[cos(θ₂)+i(sen(θ₂)]
De modo que temos:
z*w = |z|*|w|*[cos(θ₁+θ₂)+i*sen(θ₁+θ₂)] = cos(θ₁+θ₂)+i*sen(θ₁+θ₂)

Após algumas análises, vi que não é necessário que eles sejam conjugados conforme informa o gabarito. Nem que as outras alternativas estão corretas.

Uma coisa é considerar para todo caso, isso é, "Se formam o triangulo equilátero, entao os numeros são conjugados"
Na verdade não é correto afirmar isso, pois se temos θ₁ = 45º, teremos 3 valores para θ₂=0º, 165º e 285º. O que faz com que não seja necessário que sejam conjugados.

A alternativa B não é a que faz mais sentido não?

Se |w|=1, então:

w=1
a²+b²=1
1²+0²=1
1=1

ou

w=-1
(-1)²+0²=1
1=1

ou

w=i
0²+1²=1
1=1

ou

w=-i
0²+(-1)²=1
1=1

Não, pois aí não faria um triângulo equilátero.
O gabarito informa somente um tipo de solução: Quando um ângulo é multiplo de pi.

É porque pensei que seria uma das possibilidades para o vértice de w sendo que seu módulo é igual a 1.

Ainda não consegui compreendê-la. Tem como explicar de um modo mais simples? Ela deveria ter sido anulada porque os números complexos não necessitam ser conjugados? Como você chegou a essa conclusão?

Cometi um erro acima.

1º) Para que |z| = 1, não apenas z = 1 + 0i satisfaz, nem tambem z = 0 + i, ou z = -1, e por aí vai. Podemos ter uma combinação: z = cos(θ₁) + i * sen(θ₁), que teremos que seu módulo será 1, pois cos²(θ₁) + sen²(θ₁) = 1. Ou seja, temos uma circunferência de pontos que satisfazem |z| = 1, não só 4 especificos.

Temos dois numeros complexos: z e w.
Nos calculos, temos que quando multiplicamos os dois complexos, obtem-se um terceiro, de nome z*w.
O argumento(ou angulo) de z, é θ₁.
O argumento(ou angulo) de w, é θ₂.
O argumento(ou angulo) de z*w, segundo os calculos, é θ₁+θ₂.

Então, com esses três numeros, devemos ter um triangulo equilátero. Pois o enunciado pede isso.
Os numeros -1, i, (-1) * i, formam um triangulo, mas não um equilátero!

Agora, corrigindo o erro:
É necessário que os 3 pontos formem um triângulo equilátero. Assim, qualquer triangulo(equilatero) que desenharmos dentro de um circulo de raio 1, terá como centro, a origem.
Então, o angulo entre os complexos z e w deve ser 120º ou 240º(a escolha não interfere na resposta), portanto, θ₂-θ₁ = 120º. Mas o ângulo entre z e z*w deve ser 240º, e então, θ₁ = 120º. O que indica que θ₂ = 240º, e então z e w são conjugados.

A alternativa E está correta.

O livro de ensino médio que tenho aqui não faz essa associação grande entre trigonometria e números complexos, por isso minha dificuldade com essa questão. Observando o seu comentário, eu consegui visualizar que tendo o seu vértice na origem os seus ângulos serão conjugados porém ainda está obscuro para mim somente alguns pontos:

1- O que garante que o vértice da origem vai ser z.w enquanto os outros serão z e w?
2- Como chegar a conclusão de que o vértice será na origem? Não poderia estar sobreposta à abscissa ou à ordenada num raio = 1?

Aconselho que dê uma olhada, pois muitas questões se resolvem dessa maneira para não ficarem longas.

1) Se temos complexos conjugados, a+bi, e a-bi, ao multiplica-los:
(a+bi)*(a-bi) = a² - (bi)² = a² + b²
Que é um numero real.
Ou seja, sempre na multiplicação de complexos conjugados, dará um número real.

2) A conclusão de que o vertice(z*w) estará na origem é devido à análise dos ângulos θ₁ e θ₂.
No caso, tinhamos que:

Nesse caso, sistema de duas incógnitas e duas variáveis, só há uma solucao possivel. No caso, adotei como θ₁ o menor ângulo dos dois(não faz diferença, pois se adotarmos θ₂ como o menor, dará o mesmo resultado final).

Muitíssimo obrigado Carlos Adir pela paciência de me explicar essa questão. Abraço!