Plano de Argand-Gauss

por Pedro29 Qua 30 maio 2018, 18:01

Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).

O polígono regular cujos vértices são os afixos de ∜E é

Plano de Argand-Gauss 9a8a7e3fe60f05d940da

a) BEHK.

b) CFIL.

c) ADGJ.

d) BDHJ.

e) CEIK.

Gabarito letra a)

por **Lucas Pedrosa.** Qua 30 maio 2018, 19:49

Calculando a angulação entre cada ponto:

360°/12= 30°

Escrevendo E na forma trigonométrica:

E = |E|.cisθ --> E = 1.cis(4.30°)
E = 1.cis(120°)

Calculando as raízes quartas de E:

∜E = ∜|E|.cis[(θ+2k∏)/4]

k = 0 --> R = 1.cis(120º/4) = 1.cis(30°) (B)
k = 1 --> R = 1.cis[(120º + 360º)/4] = 1.cis(120°) (E)
k = 2 --> R = 1.cis[(120° + 720°)/4] = 1.cis(210°) (H)
K= 3 --> r = 1.cis[(120° + 1080°)/4] = 1.cis(300°) (K)

Observe que foi formado um polígono regular (quadrado). Achada a primeira raíz, basta somar seu argumento a (360°/n), em que n é o número de raízes. Nesse caso soma-se 30° a 90°. Observe:

30° + 90° = 120°
120° + 90° = 210°
210° + 90° = 300°

por Pedro29 Sex 01 Jun 2018, 18:09

Como você passou o E para forma trigonométrica? não entendi essa fórmula E = |E|.cisθ ...

por **Lucas Pedrosa.** Sex 01 Jun 2018, 18:31

São 12 pontos, logo para "andar" de um ponto para outro soma-se 30° (360°/12).

O argumento de A é 0°
O argumento de B é 30º
O argumento de C é 60°
O argumento de D é 90°... e assim por diante.

Como E é o 4° ponto acima do A, ele tem uma angulação de 120° (4x30°).

Escrevendo o número complexo na forma trigonométrica:

E = |E|.(cosθ + i.senθ), em que |E| é o módulo do número complexo (que nesse caso vale 1), e θ é o argumento (ângulo).

Se não viu como descobri o módulo, perceba que da origem ao ponto A vale 1, que é o raio da circunferência, logo a distância da origem a E também vale 1.