(MACK - 1980) Polinômio

por ALDRIN Ter 04 Jan 2011, 22:09

O polinômio $P(x)=(cos \theta+sen \theta)^n-cos\ n\theta-xsen\ n\theta$ , $n \in \mathbb{N}^*$ , é divisível por $P_1(x)=x^2+1$ .

a) somente se $0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}$

b) somente se $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$

c) somente se $\theta \neq \frac{\pi}{2}+k\frac{\pi}{3}$

d) somente se $n \theta \neq k\pi$

e) sempre

por **Elcioschin** Qua 05 Jan 2011, 16:16

P(x) = (cosT + senT)^n - cos(nT) - x*sen(nT)

P(x) = [cos(nT) + sen(nT)] - cos(nT) - x*sen(nT)

P(x) = sen(nT) - x*sen(nT)

P(x) = - sen(nT)*x + sen(nT)

Não entendo como P(x), do 1º grau, pode ser divisível por P1(x) do 2º grau

Suponho que exista algum erro no enunciado.
Favor verificar

por Paulo Testoni Qua 05 Jan 2011, 17:50

por ALDRIN Qua 05 Jan 2011, 19:33

De onde tirei está como postei.

por **Elcioschin** Qua 05 Jan 2011, 21:51

Por favor ignore a minha solução anterior: ela contém erros.

O polinômio P(x) = (cosT + senT)^n - cos(nT) - x*sen(nT) vale para qualquer valor de n.

1) Fazendo n = 0 ----> P(x) = (cosT + senT)^0 - cos(0*T) - x*sen(0*T) ---> P(x) = 1 - 1 + 0 ---> P(x) = 0 ---->

P(x) é divisível por (x² + 1)

2) Fazendo n = 1 ----> P(x) = (cosT + senT)¹ - cos(1*T) - x*sen(1*T) ---> P(x) = senT*(1 - x) --->

Para P(x) ser divisível por (x² + 1) ----> P(x) = 0 ----> senT = 0 ----> T = k*pi

3) Fazendo n = 2 ----> P(x) = (cosT + senT)² - cos(2T) - x*sen(2T) --->

P(x) = (sen²T + cos²T) + 2*senT*cosT - (1 - 2*sen²T) - x*2*senT*cosT ---->

P(x) = 1 + 2*senT*cosT - 1 + 2*sen²T - x*(2*senT*cosT) ----> P(x) = 2*senT*(cosT + senT - x*senT)

Para P(x) ser divisível por (x² + 1) ----> P(x) = 0 -----> senT = 0 -----> T = k*pi

Parece-me que é alternativa E