Par de retas tangentes à parábola

Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y=ax²,(a≠0) tem como interseção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.


OBS: Se for possível, gostaria de uma resolução com o uso de derivadas.

Sejam A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos quaisquer da parábola

Sejam r, s as retas tangentes à parábola nos pontos A e B, respectivamente

O coeficiente angular de ambas as retas é dado pela derivada da função: y' = 2.a.x

Reta r --> mr = 2.a.xA ---> Equação de r ---> y - yA = mr.(x - xA) --->

y - yA = (2.a.xA).(x - xA) ---> y = (2.a.xA).x + 2.a.xA² + yA ---> I

Reta s --> ms = 2.a.xB ---> Equação de s ---> y - yB = ms.(x - xB) --->

y - yB = (2.a.xB).(x - xB) ---> y = (2.a.xB).x + 2.a.xB² + yB ---> II

Seja P(xP, yP) o ponto de encontro de r, s

(2.a.xA).xP + 2.a.xA² + yA =  (2.a.xB).xP + 2.a.xB² + yB --->

2.a.(xA - xB).xP = - 2a.(xA² - xB²) + yB - yA --->

2.a.(xA - xB).xP = - 2a.(xA + xB)(xA -xB) + yB - yA

xP = - (xA + xB) + (yB - yA)/2.a.(xA - xB)

Calcule yP em I ou em II

Ponto médio M de AB ---> xM = (xA + xB)/2 ---> yM = (yA + yB)/2

Tente agora completar, provando que xP = xM

Élcio, muito obrigado pela resposta!

Eu igualei os "x" como o senhor solicitou e a identidade ficou:

yb-yA=3a(xA²-xB²)

Sendo assim, eu fiz II-I no ponto (Xm,Ym) e ficou:

yB-yA=a(xB²-xA²)

Enfim, não consegui provar =////. Se o senhor puder continuar a resolução, ficarei ainda mais grato!