intervalo dos angulos

por Suou. Qua 23 Mar 2016, 21:15

Foi dado um sistema entre u, v,w e seus valores na direita. O exercicio quer saber o intervalo de teta, phi, e p. A resposta foi dada em baixo, no dominio D.
Eu tentei, mas nao consegui achar o intervalo de teta, que vai de -90º a +90º, e achei errado algumas partes dos outros intervalos. Alguém pode mostrar como achar esses intervalos?

por **Carlos Adir** Qui 24 Mar 2016, 00:21

1º Parte)
$\\ \mathrm{u^2+v^2+w^2 = \left(p^2\cdot cos^2\phi \right )+\left(p^2sen^2\theta sen^2\phi \right )+\left(p^2cos^2 \theta sen^2 \phi \right ) \ge 1} \\ \mathrm{cos^2\phi + sen^2\theta sen^2\phi + cos^2\theta sen^2\phi \ge \dfrac{1}{p^2}} \\ \mathrm{cos^2\phi + sen^2\phi\left(sen^2\theta+cos^2\theta \right ) \ge \dfrac{1}{p^2} \Rightarrow p^2 \ge 1 \Rightarrow} \begin{cases}\mathrm{p\le -1} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{p\ge 1} \end{cases}$

2º) Parte:
$\mathrm{u \ge \sqrt{3v^2+3w^2}}$
Temos que, podemos reescrever:
$\\ \mathrm{\dfrac{p}{|p|}\cdot cos\theta \ge \sqrt{3sen^2 \phi sen^2\theta+3cos \theta^2sen \phi^2}} \\ \mathrm{\dfrac{p}{|p|} \cdot cos \theta \ge \sqrt{3 \cdot sen^2\theta}=|sen \theta| \cdot \sqrt{3}} \\ \mathrm{\left(\dfrac{p}{|p|} \right )^2 \cdot cos^2 \theta \ge 3sen^2\theta} \\ \mathrm{1 - sen^2\theta \ge 3 sen^2\theta \Rightarrow \dfrac{-1}{2} \le sen \theta \le \dfrac{1}{2}}$

3º Parte)
$\mathrm{ u = p\cdot cos \phi \le 4 \Rightarrow p \le \dfrac{4}{cos \phi}}$

4º Parte) Se w ≥ 0, é necessário que uma das opções sejam feitas:
1) p ≤ 0 ---> sen(φ)*cos(θ) ≤ 0
2) p ≥ 0 ---> sen(φ)*cos(θ) ≥ 0
O valor de p pode ser tanto positivo quanto negativo segundo a opcao (1). De modo análogo, temos que cos(θ) pode ser tanto positivo quanto negativo. Sendo então o sen(φ) "ajustavel" de acordo com os outros valores.

Outra coisa que podemos ver é que(veja terceira linha da parte 2):
(p/|p|) . cos(θ) ≥ |sen θ| . √3 ≥ 0
Ou seja temos que sen(φ) é sempre positivo.

Resultado:
$\\ \begin{cases}\mathrm{1 \le p \le \dfrac{4}{cos \phi}; \ \ \ se \ cos \phi > 0} \\ \mathrm{p \le \dfrac{4}{cos \phi}}; \ \ \ \mathrm{se \ cos \phi < 0} \end{cases} \\ \mathrm{\dfrac{-1}{2} \le sen \theta \le \dfrac{1}{2}} \\ \mathrm{sen \phi \ge 0 \Rightarrow 2k\pi \le \phi \le 2k\pi + \pi; \ \ k \in \mathbb{Z}}$
Não consegui achar mais restriçoes e chegar ao gabarito.

por Suou. Qui 24 Mar 2016, 02:18

Na parte 2, vc começou a deixar sen (teta), mas na verdade é sen (phi) nao é? A outra restrição que esqueci é que phi deve estar entre 0 e 180º e p> = 0

Mas acho que isso só piorou, porque vc só conseguiur resolver a parte 2 porque vc deixou tudo com teta, nao é?

por **Carlos Adir** Qui 24 Mar 2016, 23:59

Certamente, foi um erro meu. Com as ediçoes(e dado adicional do intervalo de phi) fica:

$\\ 1^o) \ \begin{cases}\mathrm{p \le -1} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{p \ge 1} \end{cases} \\ 2^o) \mathrm{\dfrac{p}{|p|} \cdot cos \theta \ge \sqrt{3} \cdot |sen \phi|} \\ 3^o) \mathrm{p \le \dfrac{4}{cos \phi}} \\ 4^o) \begin{cases}\mathrm{Se \ p\le 0 \Rightarrow sen \phi \cdot cos \theta \le 0} \\ \mathrm{Se \ p \ge 0 \Rightarrow sen \phi \cdot cos \theta \ge 0} \end{cases} \\ 5^o) \mathrm{0 \le \phi \le \pi}$

Usando a condição (5) na condição (2), temos:
$\mathrm{2^o) \dfrac{p}{|p|} \cdot cos \theta \ge \sqrt{3} \cdot sen \phi}$

Usando a condição (5) na condição (2) novamente, temos:
$\mathrm{6^o) p\cdot cos \theta \ge 0}$

Sabendo a condição (6), podemos ver que a condição (4) só nos informa que w pode ser zero. Como p não é zero segundo a condição 1, então temos que o valor de sen(phi)*cos(theta) = 0. Ou seja, sen(phi)=0 ---> phi = 0 ou 180º. E/ou cos(theta) = 0 ---> theta = 90º+180º*k
Contudo, também nessa podemos ver que se cos(theta)=0, então sen(phi)=0, pois a condição (2) nos obriga a isso. Ou seja:
cos θ = 0 ⇒ sen φ = 0;

Usando a condição (2) temos que, como cos(theta) ≤ 1, então é necessário que o valor de sen φ ≤ 1/√3

Por enquanto temos nosso conjunto de condições:
$\\ 1^o) \ \begin{cases}\mathrm{p \le -1} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{p \ge 1} \end{cases} \\ 2^o) \mathrm{\dfrac{p}{|p|} \cdot cos \theta \ge \sqrt{3} \cdot |sen \phi|} \\ 3^o) \mathrm{p \le \dfrac{4}{cos \phi}}\\ 5^o) \mathrm{0 \le \phi \le \pi } \\ 6^o ) \mathrm{ sen \phi \le \dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

Ou seja:
1) É possivel que p <= 4/cos φ < -1 < 0; neste caso cos θ ≤ 0; sen φ ≤ 1/√3; 0 < φ < π;
2) É possivel que p >= 1; neste caso cos θ ≥ 0; sen φ ≤ 1/√3; 0 < φ < π/2 (pois o cosseno deve ser positivo pela condicao 3);

Exceto se existir uma outra condição que faça p > 0; para que então descartemos a primeira possibilidade.
Contudo, mesmo se tal condição apareça, não há maneira de restringir theta, pois theta pode ser equivalente a ele mais 2*π.
Além de que, achos que sen φ ≤ 1/√3; e não que sen φ ≤ 1/2, para que apareça 0 ≤ φ ≤ π/6

PS: Questão chatinha essa O.o

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