Simplificação algébrica - inequação

por Isa16 Ter 08 Mar 2016, 19:48

Determine m para que se tenha ∀xϵR:

$\frac{x}{x^{2}+4}> \frac{x+m}{x^{2}+1}$

Resposta correta: m<-3/4

por **Carlos Adir** Ter 08 Mar 2016, 20:58

$\\ \mathrm{\dfrac{x}{x^2 + 4} > \dfrac{x+m}{x^2 + 1}} \\ \mathrm{\dfrac{x}{x^2 + 4} - \dfrac{x+m}{x^2 + 1} > 0} \\ \mathrm{\dfrac{x\left(x^2 + 1 \right )-\left(x+m \right )\left(x^2 +4 \right )}{\left(x^2 + 1 \right )\left(x^2 + 4 \right )}> 0} \\ \mathrm{\dfrac{-mx^2 -3x-4m}{\left(x^2 + 1 \right )\left(x^2 +4 \right )} > 0 }$
Podemos ver que o denominador é sempre positivo, e então não interfere no sinal, então para achar a resposta, basta acharmos:
$\mathrm{-mx^2 -3x-4m>0}$
Para isso, há diversas maneiras, uma delas é o discriminante(Delta) ser negativo, para que não ocorra de que a função $\mathrm{f(x)=-mx^2 -3x-4m}$ tenha raiz, e seja somente positiva.
É necessário também, que o valor que acompanha o x² seja positivo, pois a parábola deve ter concavidade para cima, e então, daqui já tiramos que m < 0. Agora, indo ao "Delta":
$\\ \mathrm{0>\Delta = 9 -16m^2} \\ \mathrm{9 < 16m^2 \Rightarrow m^2 > \dfrac{9}{16} \Rightarrow |m|>\dfrac{3}{4}} \\ \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{m < \dfrac{-3}{4}} \\ \mathrm{m > \dfrac{3}{4}} \end{cases}$
Como dito acima, m só pode ser negativo, e então a nossa solução é:
$\mathrm{m < \dfrac{-3}{4}}$