Unicamp - Função neperiana

por Bryan Gonzalez Sáb 05 Mar 2016, 07:41

Esboce os gráficos das funções y = e^x ; y = e^-x; y = (e^x) + (e^-x) - 3 em um mesmo sistema de eixos ortogonais.
Mostre que a equação (e^x) + (e^-x) - 3 = 0 tem duas raízes reais simétricas x = a e x= -a
Mostre, ainda, que (e^3a) + (e^-3a) = 18

Só consegui representar o gráfico

por Convidado Sáb 05 Mar 2016, 17:01

$e^{x}+e^{-x}-3=0$

$e^{x}+\frac{1}{e^{x}}-3=0$

Chamando e^x=y, vem:

$y+\frac{1}{y}-3=0$

$\frac{y}{y}.y+\frac{1}{y}-3.\frac{y}{y}=0$

$y^{2}-3y+1=0$

Achando as raízes de y, temos:

$\left\{\begin{matrix} y'=\frac{3+\sqrt{5}}{2} & \\ y''=\frac{3-\sqrt{5}}{2}& \end{matrix}\right.$

Substituindo y por e^x, achamos:
$\left\{\begin{matrix} e^{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\therefore x=ln(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) & \\ e^{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\therefore x=ln(\frac{3-\sqrt{5}}{2})& \end{matrix}\right.$

Veja que se as raízes são simétricas, então temos:

a + (-a) =0

$ln(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+ln(\frac{3+\sqrt{5}}{2})=0$

$ln(\frac{3-\sqrt{5}}{2})(\frac{3+\sqrt{5}}{2})=0$

$ln(\frac{3^{2}-\sqrt{5}^{2}}{4})=0$

$ln(\frac{9-5}{4})=ln(1)=0$

Na segunda parte da questão, você deve substituir uma das raízes no lugar de a da expressão e mostrar que a expressão vale 18.

$e^{3a}+e^{-3a}=e^{3a}+\frac{1}{e^{3a}}$

$e^{3.ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{e^{3.ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{3}+\frac{1}{[\frac{(3-\sqrt{5}}{2})^{3}]}$

${}(\frac{3-\sqrt{5})^{3}}{2^{3}}+\frac{2^{3}}{(3-\sqrt{5})^{3}}$

Daqui em diante você desenvolva a expressão que está dentro do parenteses (x-y)³.

$\frac{72-32.\sqrt{5}}{8}+\frac{8}{72-32.\sqrt{5}}$

Racionalize o segundo membro da soma.

$\frac{72-32.\sqrt{5}}{8}+\frac{8(72+32\sqrt{5})}{64}$

$9 -4\sqrt{5}+9+4\sqrt{5}=18$

Espero que seja isso. Bons estudos!

por Bryan Gonzalez Sáb 05 Mar 2016, 17:56

Compreendi perfeitamente, Lucas.
Obrigado!

por Convidado Sáb 05 Mar 2016, 18:03

De nada!

por Brom Dom 03 Set 2017, 08:19

Eu não entendi uma passagem: por que após

$Unicamp - Função neperiana Gif.latex?e^{3.ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{e^{3$ $Unicamp - Função neperiana Cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467$ sai da equação?

por **JoaoGabriel** Dom 03 Set 2017, 09:08

Brom escreveu:Eu não entendi uma passagem: por que após

$Unicamp - Função neperiana Gif.latex?e^{3.ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{e^{3$ $Unicamp - Função neperiana Cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467$ sai da equação?

Propriedade do logaritmo, quando a base do expoente também é a base do logaritmo:

e^ln(a) = a

Isso é fácil de demonstrar:

e^ln(a) = y
ln(e^ln(a)) = ln(y)
ln(a)*ln(e) = ln(y) --> ln(e) = 1
ln(a) = ln(y) --> y = a

por Brom Dom 03 Set 2017, 10:20

Ah, sim! Falta de atenção minha. Muito obrigada!
:LLamp:

por dd0123 Ter 26 Mar 2019, 09:45

Encontrei esse gabarito:

Mas não entendi somente as últimas linhas da conta..
De onde é esse raciocínio (e^b)³+(e^-b)³ = (e^b+e^-b)³- 3(e^b)^2e-b - 3^eb(e^-b)² ??

Grato desde já