UNICAMP - Função exponencial
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UNICAMP - Função exponencial
por brendad Ter 03 Set 2013, 00:48
Considere a equação 2^x + m2^(2-x) - 2m - 2 = 0, onde m é um número real.
b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.
Resp: m = 1 ou m ≤ 0
Eu já olhei algumas resoluções comentadas, mas não entendi
b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.
Resp: m = 1 ou m ≤ 0
Eu já olhei algumas resoluções comentadas, mas não entendi
brendad- Recebeu o sabre de luz
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Re: UNICAMP - Função exponencial
por mauk03 Ter 03 Set 2013, 01:56
2^x + m2^(2-x) - 2m - 2 = 0 --> 2^x + (4m/2^x) - (2m + 2) = 0 --> 2^2x - (2m + 2).2^x + 4m = 0
Fazendo 2^x = y:
y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0
Para a equação dada no problema ter uma única raiz real, as raízes y1 e y2 da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 devem ser tais que:
1) y1 = y2 > 0
ou
2) y1 > 0 ≥ y2
(Pois 2^x = y > 0, para todo x real)
Para a condição 1 ser verdade o discriminante da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 deve ser igual a zero, ou seja:
Δ = (2m + 2)^2 - 4.1.4m = 0 --> 4m^2 + 8m + 4 - 16m = 0 --> m^2 - 2m + 1 = 0 --> (m - 1)^2 = 0 --> m = 1
Logo o conjunto do(s) valor(es) de m que satisfaz(em) a condição 1 é S1 = {1}.
Para a condição 2 ser verdade o discriminante da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 deve ser maior que zero e o produto das raízes y1 e y2 deve ser menor ou igual a zero, ou seja:
Δ = (2m + 2)^2 - 4.1.4m > 0 --> (m - 1)^2 > 0 --> (verdade para todo m ≠ 1)
P = y1.y2 = 4m ≤ 0 --> m ≤ 0
Logo o conjunto do(s) valor(es) de m que satisfaz(em) a condição 2 é S2 = {m ∈ R; m ≤ 0}.
A solução do problema é a união de S1 e S2, ou seja:
S1∪S2 = {m ∈ R; m ≤ 0 ou m = 1}
Fazendo 2^x = y:
y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0
Para a equação dada no problema ter uma única raiz real, as raízes y1 e y2 da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 devem ser tais que:
1) y1 = y2 > 0
ou
2) y1 > 0 ≥ y2
(Pois 2^x = y > 0, para todo x real)
Para a condição 1 ser verdade o discriminante da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 deve ser igual a zero, ou seja:
Δ = (2m + 2)^2 - 4.1.4m = 0 --> 4m^2 + 8m + 4 - 16m = 0 --> m^2 - 2m + 1 = 0 --> (m - 1)^2 = 0 --> m = 1
Logo o conjunto do(s) valor(es) de m que satisfaz(em) a condição 1 é S1 = {1}.
Para a condição 2 ser verdade o discriminante da equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 deve ser maior que zero e o produto das raízes y1 e y2 deve ser menor ou igual a zero, ou seja:
Δ = (2m + 2)^2 - 4.1.4m > 0 --> (m - 1)^2 > 0 --> (verdade para todo m ≠ 1)
P = y1.y2 = 4m ≤ 0 --> m ≤ 0
Logo o conjunto do(s) valor(es) de m que satisfaz(em) a condição 2 é S2 = {m ∈ R; m ≤ 0}.
A solução do problema é a união de S1 e S2, ou seja:
S1∪S2 = {m ∈ R; m ≤ 0 ou m = 1}
mauk03- Fera
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Re: UNICAMP - Função exponencial
por mauk03 Ter 03 Set 2013, 15:10
Uma forma mais simples de resolver esse problema é fatorando a equação y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 (y = 2^x):
y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 --> y^2 - 2my - 2y + 4m = 0 --> y(y - 2m) - 2(y - 2m) = 0 --> (y - 2m)(y - 2) = 0
As raízes da equação (y - 2m)(y - 2) = 0 são y = 2 ou y = 2m.
Para y = 2, tem-se 2^x = 2 --> x = 1.
Desta forma x = 1 é, necessariamente, uma raiz da equação 2^2x - (2m + 2).2^x + 4m = 0. Para que x = 1 seja a única raiz real, deve-se ter:
1) y1 = y2 > 0 --> 2m = 2 --> m = 1
ou
2) y1 > 0 ≥ y2 --> 0 ≥ 2m --> m ≤ 0
Portanto, m = 1 ou m ≤ 0.
y^2 - (2m + 2)y + 4m = 0 --> y^2 - 2my - 2y + 4m = 0 --> y(y - 2m) - 2(y - 2m) = 0 --> (y - 2m)(y - 2) = 0
As raízes da equação (y - 2m)(y - 2) = 0 são y = 2 ou y = 2m.
Para y = 2, tem-se 2^x = 2 --> x = 1.
Desta forma x = 1 é, necessariamente, uma raiz da equação 2^2x - (2m + 2).2^x + 4m = 0. Para que x = 1 seja a única raiz real, deve-se ter:
1) y1 = y2 > 0 --> 2m = 2 --> m = 1
ou
2) y1 > 0 ≥ y2 --> 0 ≥ 2m --> m ≤ 0
Portanto, m = 1 ou m ≤ 0.
mauk03- Fera
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