CONJUNTOS

Numa prova de matemática:
-4 alunos fizeram a primeira questão;
-3 alunos fizeram somente a segunda questão;
-5 alunos fizeram somente a terceira questão,
-3 alunos fizeram as três questões;
-11 alunos acertaram a segunda, a terceira ou ambas as questões;
-O número de alunos que acertaram somente a primeira e a segunda questão é igual ao número de alunos que acertaram somente a primeira e a terceira questão.

Pergunta-se:
a) Quantos alunos acertaram toda a prova?
b) Quantos alunos fizeram a prova?
c) Quantos alunos não acertaram nem a segunda nem a terceira?

Obs: Comecei a fazer de uns 10 jeitos diferentes, mas nunca cheguei a um resultado. E tbm não tenho o gabarito.

Desenhe um Diagrama de Venn:

P, S, T = candidatos que acertaram a 1ª, 2ª, 3ª questão
p, s, t = candidatos que acertaram somente a 1ª 2ª, 3ª questão
x, y, w = candidatos que acertaram somente 1ª e 2ª, somente 2ª e 3ª e somente 1ª e 3ª
z = candidatos que acertaram as três questões

Do enunciado:

1) P = 4 ---> s = 3 ---> t = 5 --> z = 3

2) s + t + y + z = 11 ---> 3 + 5 + y + 3 = 11 ---> y = 0

3) p + x + w + z = P ---> p + x + w + 3 = 4 ---> p + x + w = 1 ---> I

4) Somente 1º = 2º = x ---> Somente 1º e 3º = w ---> w = x ---> II

II e m I --> p + x + x = 1 ---> p + 2x = 1 ---> Existem duas possibilidades:

p = 0 ---> x = 1/2 ---> impossível pois x é inteiro
x = 0 ---> p = 1 ---> OK

II ---> w = x ---> w = 0

Equação geral ---> n = p + s + t + x + y + w + z ---> n = 1 + 3 + 5 + 0 + 0 + 0 + 3 ---> n = 12

a) z = 3

b) n = 12

c) p = 1