Epidemia de dengue

Há alguns dias atrás alguns usuários do fórum perguntaram para que serve, na vida prática, o estudo de limites e derivadas (matérias normalmente ensinadas no curso superior).

O Euclides deu vários exemplos e eu complementei, citando algumas áreas de uso no dia-a-dia.
Para melhor exemplificar, eu criei esta simples questão, de modo a despertar o interesse pela matéria;
Embora facilmente resolvível com derivadas, o conhecimento de funções do Ensino Médio é suficiente para resolvê-la.

Com o verão se aproximando as autoridades sanitárias estão preocupadas com a dengue.
Além da falta de cuidado da população com caixas-dágua, pneus, vasos e outras vasilhas, outros fatores contribuem para a disseminação da doença: quantidade de chuva prevista, umidade e temperatura atmosférica, desmatamento, disposição inadequada do lixo, fatores regionais, etc.
Com base em estudos estatísticos dos últimos anos os cientistas decobriram uma lei que rege a incidência da doença.
Com base nestes dados a função que relaciona a quantidade prevista de novos casos da doença para o verão de 2011, versus o tempo (em dias), é f(t) = 2700 - 60t - t² com a contagem do tempo iniciando em 1º/jan/2011.
De posse destas informações a prefeitura de determinada cidade pretende se preparar para a epidemia, providenciando remédios, leitos hospitalares, médicos e enfermeiros em quantidades necessárias e suficientes. Para isto ela necessita das seguintes informações:
a) Data aproximada do início dos casos da doença.
b) Data aproximada do final da epidemia.
c) Data aproximada em que a doença chega ao seu ápice.
d) Número máximo diário de casos.

Pode o fórum do Euclides ajudar a prefeitura (sem receber salário) ?

a) A data inicial do início dos casos ocorre para o menor t tal que f(t) é maior que zero, haja vista que não faz sentido em se falar em casos negativos da doença.

Se f(to)=0 -> to é raiz.

f(t) = 2700 - 60t - t²








Como to é a menor raiz:

to=-90

Ou seja, 90 dias antes de 1º de Janeiro de 2011.

Dezembro tem 31 dias.
Novembro tem 30.
Outubro tem 31.

Logo, dia 2 de Outubro de 2010 é o primeiro dia no qual se registra um caso.

b) A data do final da epidemia é a segunda raiz de f(t).

t1=30

Logo, dia 31 de Janeiro de 2011 é o último dia no qual se registra um caso.

c) Ensino Médio: O ponto máximo de uma função de segundo grau existe se a<0. Tal ponto é o vértice da parábola. xv=-b/2a xv=-30

Ensino Superior: Pelo teorema de Fermat, se há um máximo em uma função, sua derivada é nula nesse ponto. Como a função é elementar, é contínua e derivável.

f'(t)= -60 -2t

t=-30

Ou seja, um mês atrás. Dia 2 de Dezembro de 2010

(É interessante ressaltar que a função não precisa ser de segundo grau. Esse Teorema funciona tanto para funções que o Ensino Médio aborda, quanto para aquelas que não aborda ou não consegue resolver.)

d) O número máximo diário de casos é f(-30) = 2700 -60(-30) - (30)²

f(-30)=2700+1800-900
f(-30)=3600 casos.

Jean

Solução completa e perfeita. Parabéns.
Confesso que tinha me esquecido da postagem desta questão: postei-a imediatamente antes de uma viagem e, no retorno, por não ter resposta alguma, ficou perdida entre tantas outras.
Foi bom você reativá-la: espero que sirva para que muitos usuários do fórum entendam a importância da matemática no dia-a-dia de diversos profissionais, mesmo aqueles não ligados diretamente à matéria.

Elcio

É uma honra para mim receber elogios de um membro do fórum.

Ainda mais de você Elcio, que é tão participativo e reconhecido.

Estava resolvendo mensagens sem resposta da última página porque aconteceu duas vezes de eu responder uma questão recente e assim que eu postei uma solução, outra pessoa já a havia resolvido (sou meio devagar...hehe).

Talvez dessa forma eu consiga ser mais útil ao fórum. Ainda estou meio tímido por aqui.

E continue criando questões! Esta foi bem criativa. Estou começando agora no Cálculo, foi interessante responder ao que aprendi recentemente.

Um abraço

Jean