EFOMM 2016

por Yuri Pantoja Qui 11 Fev 2016, 17:59

O número complexo, $z=|z|(cos\alpha +isen\alpha )$ , sendo i a unidade imaginária e $0\leq \alpha \leq 2$ π, que satisfaz a inequaçao $|z+3i|\leq 2$ que possui o menor argumento alfa, é:
a) $z= \frac{-5}{3}-2\sqrt{5}i/3$
b) $z= \frac{-5}{3}+2\sqrt{5}i/3$
c) $z= \frac{-5}{3}+2\sqrt{5}i/3$
d) $z= \frac{5i}{3}-2\sqrt{5}/3$
e) $z= 5i-2\sqrt{5}$

por **Carlos Adir** Qui 11 Fev 2016, 18:33

$\\ \mathrm{z=a+bi} \\ \mathrm{|z+3i|=|a+i(b+3)|=\sqrt{a^2+(b+3)^2} \le 2} \\ \mathrm{a^2+(b+3)^2 \le 4}$

Então, temos algo parecido com uma uma circunferência, de centro em (0, -3) e raio 2:
EFOMM 2016 Sp7c130

Como vemos, os pontos (a, b) estão dentro da circunferência. E o menor ângulo alfa que satifaz é quanto é tangente à circunferência.
ENtão, temos uma reta que passa pela origem e é tangente à circunferência. A reta tangente será dada então por:
$\\ \mathrm{y=tan \ \alpha \cdot x} \\ \mathrm{tan \ \alpha = \dfrac{b}{a}} \\ \mathrm{y=\dfrac{bx}{a}}$
Agora há diversas maneiras de achar os valores de a e b tal que a reta y=(b/a)x seja tangente à circunferência x²+(y+3)²=4. Uma delas é substituir os valores da equação da reta na circunferência:
$\\ \mathrm{\left(\dfrac{ay}{b} \right )^2+\left(y+3 \right )^2=4} \\ \mathrm{\dfrac{a^2+b^2}{a^2} \cdot y^2 +6y+5=0} \\ \mathrm{\Delta = 36-\dfrac{20\left(a^2+b^2 \right )}{a^2}=0} \\ \mathrm{16a^2-20b^2=0 \Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=tan \ \alpha}$

Igualamos a zero o valor do discriminante(Delta) pois queremos que haja somente um ponto de intersecção.
Sabendo então o valor da tangente, fica facil descartar algumas:
(b) pois a é negativo, e b positivo
(c) Mesmo motivo acima, afinal, qual a diferença pra b?
(d) Mesmo motivo
(e) mesmo motivo.

Logo, é a letra A

por Yuri Pantoja Seg 15 Fev 2016, 12:59

Carlos Adir escreveu: $\\ \mathrm{z=a+bi} \\ \mathrm{|z+3i|=|a+i(b+3)|=\sqrt{a^2+(b+3)^2} \le 2} \\ \mathrm{a^2+(b+3)^2 \le 4}$

Então, temos algo parecido com uma uma circunferência, de centro em (0, -3) e raio 2:

Como vemos, os pontos (a, b) estão dentro da circunferência. E o menor ângulo alfa que satifaz é quanto é tangente à circunferência.
ENtão, temos uma reta que passa pela origem e é tangente à circunferência. A reta tangente será dada então por:
$\\ \mathrm{y=tan \ \alpha \cdot x} \\ \mathrm{tan \ \alpha = \dfrac{b}{a}} \\ \mathrm{y=\dfrac{bx}{a}}$
Agora há diversas maneiras de achar os valores de a e b tal que a reta y=(b/a)x seja tangente à circunferência x²+(y+3)²=4. Uma delas é substituir os valores da equação da reta na circunferência:
$\\ \mathrm{\left(\dfrac{ay}{b} \right )^2+\left(y+3 \right )^2=4} \\ \mathrm{\dfrac{a^2+b^2}{a^2} \cdot y^2 +6y+5=0} \\ \mathrm{\Delta = 36-\dfrac{20\left(a^2+b^2 \right )}{a^2}=0} \\ \mathrm{16a^2-20b^2=0 \Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=tan \ \alpha}$

Igualamos a zero o valor do discriminante(Delta) pois queremos que haja somente um ponto de intersecção.
Sabendo então o valor da tangente, fica facil descartar algumas:
(b) pois a é negativo, e b positivo
(c) Mesmo motivo acima, afinal, qual a diferença pra b?
(d) Mesmo motivo
(e) mesmo motivo.

Logo, é a letra A

Carlos, bom dia.
Me desculpe, quando postei a questão não consegui editar a letra C e ainda não estou conseguindo.
A letra C é a alternativa correta e representa o seguinte:
$c) z= -2\sqrt{5}/3 -5i/3$

por **Elcioschin** Seg 15 Fev 2016, 16:35

Se ESTA é a digitação correta da alternativa C então a alternativa A é idêntica à alternativa C

Logo teríamos duas alternativas corretas iguais, o que não pode acontecer.

A não ser que a alternativa A também esteja digitada errada!