Simulado ITA

A resolução inteira é baseada nessa figura:

O ponto P é a interseção das retas BI e AC. Nada mais natural que achar suas equações e resolver um sistema. 





Observe a figura. Note que as coordenadas p e k são as do incentro. Podemos dizer que





Além disso, podemos obter a tangente de beta da mesma forma.



Aplique agora a relação do arco duplo:



Substitua o valor de tangente beta.



Temos então o seguinte sistema:



Na primeira equação, isolamos p.



Substituindo p na segunda equação e multiplicando os dois lados por y, chegaremos ao que você pode ver abaixo.



Agora é só álgebra.











Definindo a nova constante

Temos a equação:

Discutindo : Note que sempre valerá a desigualdade c>k. Se c = k ou c < k, a soma dos ângulos internos do triângulo será superior a 180°, ou melhor, o triângulo nem poderia ser formado! Basta analisar o caso para o triângulo isósceles (deixo como exercício). Além disso, e serão sempre maiores que zero. Então, a equação laranja é a equação de uma hipérbole com eixo real vertical, ou seja, o eixo que passa pelos seus focos é paralelo ao eixo y. A trajetória de P será, portanto, hiperbólica.