Questão 369 - Geometria II - Morgado

por fernandoalves99 Ter 26 Jan 2016, 00:18

"Dividindo-se um círculo em 47 partes iguais, quantos polígonos diferentes podem ser construídos?"

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) NRA.

GABARITO: LETRA C

Alguém poderia me ajudar nessa questão?

Questão 369 retirada do livro 'Geometria II - Morgado', no capítulo X - Polígonos Regulares.

por **Robson Jr.** Ter 26 Jan 2016, 13:43

Embora essa questão seja coerente no contexto da teoria de polígonos do Geometria II, ela perde o sentido quando retirada do livro, pois não explicita quais tipos de polígono pressupõe.

Um exemplo de enunciado mais preciso poderia ser:

Dividindo-se um círculo em 47 partes iguais, quantos polígonos inscritos distintos podem ser construídos se estes forem convexos ou estrelados?

O enunciado de todo modo não especificaria que a divisão é feita usando-se pontos para delimitar arcos iguais, e que os vértices do polígono devem estar sobre esses pontos, mas esse tanto o leitor consegue perceber. O que é impossível para quem não dispõe do livro é adivinhar as informações em negrito.

Solução:

Sejam:

n o número de divisões do círculo;
p a quantidade de divisões entre dois vértices consecutivos do polígono;
g o gênero do polígono;
e k o número de voltas no círculo necessárias para fechar o polígono.

Cada divisão do círculo compreende 360º/n. Partindo-se de um dos pontos que dividem o círculo em n partes, percorre-se (360º/n)*p para delimitar o vértice seguinte, depois mais (360º/n)*p para delimitar o próximo vértice, e o processo se repete até que, k voltas depois, se alcance o vértice inicial.

Se k = 1, o polígono é convexo; se k > 1, o polígono é estrelado.

Ao longo do processo de construção, o número total de graus varridos vale:

$\small \theta = \frac{360^o}{n} \times p \times g$

Mas, se foram dadas k voltas, então também podemos escrever:

$\small \theta = 360^o \times k$

Portanto:

$\small \frac{360^o}{n}\times p \times g = 360^o \times k \Rightarrow pg = kn$

Como n é um valor fixo, cada terna (p, g, k) corresponde a um único polígono. Portanto, se sabemos o número de ternas distintas possíveis, conhecemos também o total de polígonos.

Para limitar nossas possibilidades, observe que, no processo de construção, a variável p deve satisfazer p < n/2; de fato, se pudéssemos ter p = n/2, chegaríamos ao vértice inicial em dois passos, e ficaria delimitado um polígono de dois vértices, o que é um absurdo; já se tivéssemos p > n/2, o arco entre dois vértices seria maior que 180º, o que igualmente descaracterizaria o polígono.

Uma vez tomado um valor coerente de p, podemos escolher inteiros convenientes para g e k de modo a satisfazer a relação pg = kn. Consequentemente, o número de polígonos é igual ao número de valores possíveis de p.

Como nosso n vale 47:

$\small p < \frac{n}{2} \Rightarrow p < \frac{47}{2} \Rightarrow \boxed{p \in \left \{ \text{1, 2, ..., 23} \right \}}$

Portanto, são 23 o número de polígonos possíveis.