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Distância ente dois pontos

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Mensagem por Denisse Sales Qui 21 Jan 2016, 09:41

(Matemática Elementar Vol. 7) Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices consecutivos de um quadrado. Determine os
outros dois vértices.

Resp.: C (8, 4) e D (3, 9)
          C (-2, -6) e D (-7, -1)

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Mensagem por Gabriel Cluchite Qui 21 Jan 2016, 11:44

Bom, farei uma resolução utilizando complexos pois tenho certeza que alguém postará do jeito convencional.

Imagine a origem do plano de Argand-Gauss no ponto (3,-1)

O Afixo do ponto "A' será, portanto (-5,5)
Logo, o módulo será |z|=5√2
e o Argumento θ=135º
Portanto: z=5√2.cis135º

Agora basta ficar girando 90º o vetor complexo.

z'=5√2.cis135º.cis(-90º)=5√2.cis(45º)
z''=5√2.cis135º.cis(90º)=5√2.cis(225º)

Descobrindo o Afixo dos complexos achados:

z'=5√2(√2/2+√2/2i)=5+5i     (5,5)
z''=5√2(-√2/2-√2/2i)=-5-5i     (-5,-5)

Agora transformando para o ponto original:

C:   X=5+3=8   Y=5-1=4     (8,4)
C': X=-5+3=-2   Y=-5-1=-6  (-2,-6)

Agora faça o outro caminho coloque o ponto (-2,4) como origem do seu plano de Argand-Gauss

o afixo do ponto "B" será (5,-5)
|z|=5√2
θ=315º
z=5√2.cis(315º)

z'=5√2.cis(315º).cis(90º)=5√2.cis(45º)
z''=5√2.cis(315º).cis(-90º)=5√2.cis(225º)

Descobrindo os afixos dos novos pontos:

z'=5√2.(√2/2+√2/2.i)=5+5i   (5,5)
z''=5√2(-√2/2-√2/2.i)=-5-5i   (-5,-5)

Transformando para o plano original:

D: X=5-2=3      Y=5+4=9      (3,9)
D': X=-5-2=-7    Y=-5+4=-1    (-7,-1)
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Mensagem por Elcioschin Qui 21 Jan 2016, 11:57

Dá para fazer apenas fazendo um bom desenho:

Desenhe os pontos A e B num sistema xOy, em escala e trace o lado AB

Calcule a equação da reta AB ---> y = - x + 3

Note que reta AB faz um ângulo de 45o com o semi-eixo X-
De A até B tanto a distância horizontal (eixo x) quanto a vertical (eixo y) vale 5

Por A trace uma perpendicular à reta AB, tanto para cima quanto para baixo. Faça o mesmo para o ponto B

O ponto D estará 5 cm à direita de A e 5 cm acima de A:

xD = xA + 5 ---> xD = - 2 + 5 ---> xD = 3
yD = yA + 5 ---> yD = 4 + 5 ----> yD = 9

D(3, 9)

Proceda de modo similar para o ponto C acima do eixo x completando um dos quadrados.
Idem para os pontos D' e C' abaixo do eixo x, obtendo o outro quadrado
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Mensagem por Denisse Sales Sex 22 Jan 2016, 09:49

Muitíssimo obrigada!

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