Equação modular

por anaclaracn Ter Jan 19 2016, 20:11

(Cesgranrio-RJ) Resolva a equação:
|x - 1| + |x - 2| = 1

Gabarito:

Gente, não tô conseguindo chegar ao gabarito. Olha como eu pensei:
· Se x ≥ 2, |x - 1| = x - 1 e |x - 2| = x - 2, logo x - 1 + x - 2 = 1 → 2x = 4 → x = 2

· Se 1 ≤ x < 2, |x - 1| = x - 1 e |x - 2| = - x + 2, logo x - 1 + x - 2 = 1 → 1 = 1

· Se x < 1, |x - 1| = - x + 1 e |x - 2| = - x + 2, logo - x + 1 - x + 2 = 1 → - 2x = -2 → x = 1

S= {1, 2}

Alguém pode me ajudar?

por **Euclides** Ter Jan 19 2016, 21:32

Preste atenção nos intervalos de existência de x

$\\|x-1|+|x-2|=1\\\\x<1\;\to\;1-x+x-2=1\;\to\;-1=1,\;\nexists\;x\\\\1\leq x\leq2\;\to\;x-1-x+2=1\;\to\;1=1,\;\;\exists\;x\\\\x>2\;\to\;x-1+x-2=1\;\to\;2x-3=1\;\to\;\nexists\;\;x \;\text{no intervalo}$

por **Elcioschin** Ter Jan 19 2016, 21:38

Não se trata de uma inequação ---> É uma equação, logo o que se quer são as raízes.

As raízes são x = 1, x = 1,5 e x = 2

Logo, a resposta não pode ser um intervalo: o gabarito não condiz com a questão.

por **Euclides** Ter Jan 19 2016, 21:47

Pode sim, Élcio. Todos os valores de x entre 1 e 2 satisfazem a equação:

Equação modular Im1

por **Elcioschin** Ter Jan 19 2016, 22:08

É mesmo Euclides: eu nem preocupei em desenhar o gráfico

por **Euclides** Ter Jan 19 2016, 22:13

É uma questão sui generis que independe de x no intervalo. Não vi de imediato também.

por anaclaracn Qua Jan 20 2016, 21:07

Muito obrigada pela ajuda, Euclides e Elcioschin.
Infelizmente as imagens postadas não carregaram, vou tentar entrar no fórum por outro computador depois.

por **Elcioschin** Qua Jan 20 2016, 21:52

Ana Clara

O gráfico é simples de fazer:

1) Trace uma retar unindo os pontos (0, 2) e (1, 0)
2) Trace outra reta unindo os pontos (1, 0) e (2, 0)
3) Trace outra reta s unindo os pontos (2, 0) e (3, 2)

Prolongue as retas r e s para cima

Esta é o gráfico da função

por **Euclides** Qua Jan 20 2016, 22:27

\\|x-1|+|x-2|=1\\\\x<1\;\to\;1-x+x-2=1\;\to\;-1=1,\;\nexists\;x\\\\1\leq x\leq2\;\to\;x-1-x+2=1\;\to\;1=1,\;\;\exists\;x\\\\x>2\;\to\;x-1+x-2=1\;\to\;2x-3=1\;\to\;\nexists\;\;x \;\text{no intervalo}

Anexos