Demonstração de determinante de uma matriz

Seja A = [aij ] uma matriz n × n cujas entradas são dadas por aij = 1 − δij (onde δij representa o símbolo de Kronecker). Mostre que o determinante é dado por |A| = (−1)ⁿ⁻¹ (n − 1).

O enunciado confunde "símbolo de Kronecker", notação utilizada em Teoria dos Numeros, com "delta de Kronecker", esta sim frequente no estudo de matrizes. O erro é tão grosseiro que até mesmo a Wikipedia em português alerta explicitamente contra ele (vide referência em https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Kronecker ).

Enfim, o que nos interessa para a questão é a definição de Delta de Kronecker:



A título de exemplo, poderíamos definir a matriz identidade de ordem n como I_n = [δij].

Para o caso de ordem 4, a matriz [aij] = [1 - δij] do problema fica assim:



É fácil ver que, no caso geral, a matriz possuirá zeros na diagonal principal e números 1 nas demais posições.
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Solução:

Para uma matriz A de ordem n, temos:



Observe que todas as linhas são compostas por um número zero e n-1 números um. Portanto, cada linha tem o mesmo valor para a soma de seus elementos: n-1. Para tomarmos vantagem disso, usamos o Teorema de Jacobi, que nos permite trocar a coluna 1 pela soma de todas as colunas da matriz; depois, simplificamos.



Com o Teorema de Chió, simplificamos o determinante de ordem n transformando-o num de ordem n-1:



Esse último determinante é imediato e tem valor igual a multiplicação de n-1 números -1. Portanto:

Obrigado, ajudou bastante.