Demonstração de determinante

por Nicole Mendes Sex 26 Dez 2014, 11:55

Demonstrar que :

$Det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &... & 1\\ 1 & 2 & 2 & 2 & ... & 2\\ 1 & 2 & 3 & 3 & ... & 3\\ 1 & 2 & 3 & 4 & ... & 4\\ . & . & . & . & ... & .\\ 1 & 2 & 3 & 4 & ... & n \end{pmatrix} = 1$

Gente, aqui no meu livro diz:

"(Indução sobre n, n= número de linhas= número de colunas). n=1, det(1) = 1"
Eu não entendi nada, algúem poderia explicar??

por Luck Sex 26 Dez 2014, 13:04

Se vc aplicar a regra de Chió irá obter a mesma 'cara' da matriz anterior, mas com uma ordem a menos, então para demonstrar basta usar o princípio da indução finita (PIF).

por PedroCunha Sex 26 Dez 2014, 13:06

Luck, é fácil de observar que o determinante sempre vai ser 1, mas como fica o PIF para matrizes e determinantes?

Já vi para somas e etc., mas nunca para esse tipo de exercício.

Valeu!

por Luck Sex 26 Dez 2014, 13:40

PedroCunha escreveu:Luck, é fácil de observar que o determinante sempre vai ser 1, mas como fica o PIF para matrizes e determinantes?

Já vi para somas e etc., mas nunca para esse tipo de exercício.

Valeu!

Mesmo procedimento:
Por indução, para n = 2 (poderia ser 1), temos:
det |1--1| = 2 - 1 = 1
----|1--2|

Supondo válido para n:
----|1--1--1--1--...---1|
----|1--2--2--2--...---2|
----|1--2--3--3--...---3|
det |1--2--3--4--...---4| = 1
----|.---.--.---.--...---.-|
----|1--2--3--4--...---n|

n --> n+1

----|1--1--1--1--...---1---|
----|1--2--2--2--...---2---|
----|1--2--3--3--...---3---|
det |1--2--3--4--...---4---| = 1 (tese)
----|.---.--.---.--...---.----|
----|1--2--3--4--...---n---|
----|1--2--3--4--...---n+1|

----|1--1--1--1--...---1|------------------------|1--1--1--1--...---1|
----|1--2--2--2--...---2|------------------------|1--2--2--2--...---2|
----|1--2--3--3--...---3|------------------------|1--2--3--3--...---3|
----|1--2--3--4--...---4| (regra de Chió)-> --> |1--2--3--4--...---4|
----|.---.--.---.--...---.-|------------------------|.---.--.---.--...---.-|
----|1--2--3--4--...n+1| (n+1)x(n+1)----------|1--2--3--4--...--- n| (nxn)

Assim,
----|1--1--1--1--...---1---|
----|1--2--2--2--...---2---|
----|1--2--3--3--...---3---|
det |1--2--3--4--...---4---| = 1
----|.---.--.---.--...---.----|
----|1--2--3--4--...---n---|
----|1--2--3--4--...---n+1|