Dúvida em encontrar raízes complexas

por Chameleon Qua 23 Dez 2015, 17:17

Calcular as raízes quartas de 16(cos 120º + i.sen 120º)

Este gabarito esta correto? Não entendi.

GABARITO:

por **Gabriel Cluchite** Qua 23 Dez 2015, 17:42

Lembrando que:
∜z =∜|z|.cis[(θ +2k∏)/4)]

Resolução:

∜z = ∜2⁴.cis[(2∏/3 +2k∏)/4)]

∜z =2.cis[(∏+3k∏)/6]

k=0 -->x₁=2.cis(∏/6) -->x₁= √3+i
k=1 -->x₂=2.cis(3∏/2) --> x₂=-1+√3i
k=2 -->x₃=2.cis(7∏/6) -->x₃= -√3-i
k=3 --> x₄=2.cis(5∏/3) --> x₄=1-√3i

por **Gabriel Cluchite** Qua 23 Dez 2015, 17:50

Outro modo:

Sabendo que as raízes de um complexo formam um polígono regular, basta ficar "rodando" o nosso vetor complexo n graus (dependendo do polígono) para obter as raízes.

Ou seja, sabendo que a primeira raiz é:
x₁=2.cis(∏/6)

Basta multiplicar essa raiz por z=cis(∏/2), visto que o giro será de 90º (ângulo entre duas metades de diagonais do quadrado)

x₂=2.cis(∏/6).cis(∏/2)= 2.1.cis(∏/6+∏/2)=2.cis(2∏/3)
x₃=2.cis(2∏/3).cis(∏/2)=2.cis(7∏/6)
x₄=2.cis(7∏/6).cis(∏/2)=2.cis(5∏/3)

por Chameleon Qua 23 Dez 2015, 20:13

Muito obrigado!

Mas porque as raízes não são conjugadas , eu grifei no gabarito em vermelho, são diferentes...? :scratch:

Acho que estou deixando algo passar aqui...=/

por **Elcioschin** Qua 23 Dez 2015, 20:17

Seriam conjugadas SOMENTE se fossem raízes de um polinômio.

por **Gabriel Cluchite** Qua 23 Dez 2015, 20:35

Sendo:
z=16.cis(120º)=-8+8√3i

x⁴=z

x⁴-z=0

a=1;
b=0;
c=0;
d=0;
e=-8+8√3i <--- coeficiente não real

Eu acho que você ta confundindo aquele teorema que diz que, se um polinômio de COEFICIENTE REAIS possuir uma raiz sendo um número complexo, o conjugado desse complexo também será raiz desse polinômio.