Problema de Logaritmo

A lei de Newton de temperatura afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura. Considerando  a diferença de temperatura no instante t = 0 e ΔT(t) a diferença num instante t qualquer, essa lei se traduz pela expressão , em que a constante α depende do corpo.

Um grupo de de escoteiros, acampa numa mata próxima a cidade, encontrou por volta das 17 horas um cadáver. apavorados, chamaram a policia. o médico legista chegou ás 17h20min e imediatamente mediu a temperatura do cadáver, que era de 32,5°C. uma hora mais tarde, ele mediu novamente temperatura e verificou que era 31,5°C. A Temperatura ambiente se manteve constante a 16,5°C. O legista considera que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5°C. De acordo com as temperaturas coletadas, e usando a lei de resfriamento de newton, o horário da morte pode ser estimado por volta de: (Dados: log 2=0,3 log 3=0,47).


a)13h40min,
b)14h.
c)14h40min.
d)15h.
e)14h50min.


A RESPOSTA CERTÁ É B.

No instante t₀ = 17h 20 min temos que a variação de temperatura entre o cadáver e o meio ambiente era de 16 °C passada uma hora (t = 18h 20 min) a variação caiu para 15 °C.

15 = 16*e^-a*1 => -a = log_e (15/16)

No instante em que o homem morreu sua temperatura era de 36,5 °C sendo assim a variação de temperatura entre ele e o meio ambiente era de 20 °C.

Cálculo da variação do tempo, de quando a variação de temperatura era 20 °C até o registro do médico legista, quando a variação caiu para 16 °C:


16 = 20*e^log_e^15/16*t => (15/16)^t = (16/20) => t = log_(15/16) (16/20) ~passando para a base 10~=> t = log (2⁴/2²*5): log (3*5/2⁴) => t = log 2⁴ – log 2² – log (10/2)/log 3 + log (10/2) – log 2⁴ = 3*log 2 – 1/log 3 + 1 – 5 log 2

E substituindo os valores, vem:

t = 3*(0,3) -1 / 0,47 + 1 – 1,5 ~= 3,33 h
Ou seja, do instante em que ele morreu (quando a diferença de temperatura era de 20 °C até quando o legista registrou a temperatura de 32,5 °C e a diferença caiu para 16 °C) decorreram 3,33 h. Subtraindo 3,33 h das 17h 20 min dá aproximadamente 14h