expressão trigonométrica

por jobaalbuquerque Sáb 07 Nov 2015, 03:06

Determine o conjunto solução da função:

f(x) = 2sen²x + 4cos²x + 6 senxcosx

....

por **Carlos Adir** Sáb 07 Nov 2015, 09:43

1) Não é uma equação, mas sim uma função.
2) Vamos reescrever a função:
$\\ \mathrm{f(x)=2sen^2 \ x+4cos^2 \ x+6cos \ x \cdot sen \ x=} \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ =2 \left({\color{Blue} sen^2 x+cos^2x} \right )+{\color{DarkGreen} 2cos^2 x} +3\left({\color{Red} 2sen \ x \cdot cos \ x} \right )} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ = 2\left({\color{Blue} 1} \right )+\left({\color{DarkGreen} 1+cos \ 2x} \right )+3\cdot ({\color{Red} sen \ 2x})}$
$\\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ = 3 + cos \ 2x + 3sen \ 2x} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ = 3 + \sqrt{10}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1^2+3^2}}cos \ 2x+\dfrac{3}{\sqrt{1^2+3^2}} \cdot sen \ 2x \right )} \\ \mathrm{Sendo \ sen \ \theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}, \ cos \ \theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}, \ tan \ \theta = \dfrac{1}{3}, \ temos:} \\ \mathrm{f(x) = 3 + \sqrt{10} \left(sen \ \theta\cdot cos \ 2x + cos \ \theta \cdot sen \ 2x \right )} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ =3+\sqrt{10} \cdot sen \left(2x+\theta \right )}$
3) Depois de reescrito a função, vamos achar as raizes:
$\\ \mathrm{f(x)=3+\sqrt{10} \cdot sen \left(2x+\theta \right )} \\ \mathrm{f(x)=0 \Leftrightarrow 3+\sqrt{10}\cdot sen \left(2x+\theta \right )=0} \\ \mathrm{\Rightarrow sen \ (2x+\theta)=\dfrac{-3}{\sqrt{10}}=cos \left(\pi-\theta \right )=-sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right )}$
Até agora temos:
$\mathrm{sen \left(2x+\theta \right )=-sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right )}$
Então resolvendo isso:
$\\ \mathrm{2x+\theta +2k\pi= \dfrac{3\pi}{2} \pm \left(\theta-\dfrac{\pi}{2} \right )} \\ \mathrm{2x_1+\theta+2k_1\pi = \dfrac{3\pi}{2} +\dfrac{\pi}{2}-\theta} \\ \mathrm{2x_2+\theta+2k_2\pi = \dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}+\theta} \\ \begin{cases}\mathrm{x_1=-\theta+n_1 \pi} \\ \mathrm{x_2=\dfrac{\pi}{2}+n_2 \pi} \end{cases}$
Deu uma resposta divergente da segunda postada. Essa aqui está errada pois podemos ver que nem o primeiro nem o segundo valor da solução não satisfaz.
Contudo, não achei o erro dessa resolução.

PS: Só questão de nomenclatura. Conjunto solução é para equações, raizes são pra funções. Mas dá pra entender perfeitamente, só um formalismo matemático :idea:

por jobaalbuquerque Sáb 07 Nov 2015, 09:59

uma dúvida, na sua resolução o que você usou para obter √10, e outros radicais? não me parece com nenhuma fórmula de arco metade, duplo.
ahh e muito obrigado pela resolução

por **Carlos Adir** Sáb 07 Nov 2015, 10:15

O que utilizei foi para misturar dois radicais.
Por exemplo, temos um número x seno + outro numero x cosseno. Para conseguir achar o x, fica ruim lidar com essa soma. Por isso, fazemos uma manipulaçao pra juntar o seno com o cosseno.
Foi precisamente o abaixo, mas abaixo está o caso geral:
$\\ \mathrm{a\cdot sen \ x + b \cdot cos \ x=} \\ \mathrm{\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot sen \ x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot cos \ x \right )=} \\ \mathrm{\sqrt{a^2+b^2}\left(cos \theta \cdot sen \ x + sen \theta \cdot cos \ x \right )=} \\ \mathrm{\sqrt{a^2+b^2}\cdot sen \left(x+\theta \right )} \\ \mathrm{Sendo \ cos \theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \ \ sen \theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}} \\ \mathrm{tan \theta = \dfrac{b}{a}; \ \ \theta = arctan \left(\dfrac{b}{a} \right )}$
No caso tinhamos a=1 e b=3.

por jobaalbuquerque Sáb 07 Nov 2015, 10:19

não conhecia esse método, aprendendo algo novo, novamente obrigado.

por **Carlos Adir** Sáb 07 Nov 2015, 10:35

Errei uma coisa lá no final. Já editei com a resposta.

Outra resolução segue abaixo, usando tangente:
$\\ \mathrm{f(x)=2sen^2 x + 4cos^2 x+6sen \ x \cdot cos \ x} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ =2+(1+cos \ 2x)+3sen \ 2x} \\ \mathrm{Se \ t=tan \ x \Rightarrow cos 2x =\dfrac{1-t^2}{1+t^2}; \ sen \ 2x=\dfrac{2 t}{1+t^2}} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ =3+\dfrac{1-t^2}{1+ t^2}+3 \cdot \dfrac{2t}{1+t^2}} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{3+3t^2+1-t^2+6t}{1+t^2}} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{2(2+3t+t^2)}{1+t^2}} \\ \mathrm{Se \ f(x)=0 \Rightarrow \dfrac{2(t^2+3t + 2)}{1+t^2}=0 \Rightarrow t^2+3t+2=0} \\ \mathrm{\Rightarrow t=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot 2}}{2}=\dfrac{-3 \pm 1}{2}}$
$\\ \mathrm{tan \ x=\dfrac{-3\pm 1}{2} \Rightarrow }\begin{cases}\mathrm{tan \ x_1=-1} \\ \mathrm{tan \ x_2=-2} \end{cases} \\ \mathrm{\Rightarrow x_1=\dfrac{-\pi}{4}+k_1 \pi; \ \ \ k_1 \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{\Rightarrow x_2=-\arctan\left(2 \right )+k_2\pi; \ \ k_2 \in \mathbb{Z}}$

por jobaalbuquerque Sáb 07 Nov 2015, 10:46

uma, duas vezes, meus professores mostraram uma resolução assim, ate porque no ens. no medio se limita-se as 7, 8 formulas "clássicas" da trigonometria, resolução ótima adir, muito obrigado; só mais uma pergunta, quando fala-se em arcotg, a resposta é dada em função de que?

por **Carlos Adir** Sáb 07 Nov 2015, 11:01

As funções arcos são os inversos das funções normais.
Por exemplo, se eu dizer arcsen(1), é meio que uma pergunta:
"Qual ângulo que o seno dá 1?" Aí a resposta é pi/2
Por isso, arcsen(1)=pi/2

De modo análogo, arctan(1) = pi/4, pois a tangente de (pi/4) ou tangente de 45° dá 1.
As vezes é muito utilizado pra mostrar o valor exato.
No caso, arctan(1/3) dá aproximadamente 18,4349° conforme mostrado, mas não é exato, é uma aproximação.
Para exatidão, prefere-se usar arctan(1/3) que usar o ângulo 18,4349°

Quanto às respostas, a segunda esta correta. A primeira fiz, não achei o erro embora tenha.
Desculpe-me a falha.