expressão trigonométrica

por wesley mairciel dias Sáb 31 Jan 2015, 12:56

o valor da expressão 8*sen (3pi/ Cool

*cos pi/8, em que os arcos são medidos em radianos , é inferior a 6.

sim
não

????

por **Carlos Adir** Sáb 31 Jan 2015, 14:03

$\\ 8 \cdot sen \left(\dfrac{3\pi}{8} \right ) \cdot cos \ \left(\dfrac{\pi}{8}\right)= 8 \cdot sen \left(\dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi}{4}\right ) \cdot cos \ \left(\dfrac{\pi}{8} \right ) \\ = 8 \left(sen \dfrac{\pi}{8}cos\dfrac{\pi}{4}+cos\dfrac{\pi}{8}sen\dfrac{\pi}{4} \right )\cdot cos \left(\dfrac{\pi}{8} \right ) \\ = 8 \left(sen \ \dfrac{\pi}{8}sen \dfrac{\pi}{4}+cos \dfrac{\pi}{8}cos\dfrac{\pi}{4} \right )cos \dfrac{\pi}{8} \\ = 8 \left(cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{8} \right ) \right ) \cdot cos\dfrac{\pi}{8}= 8\cdot cos \dfrac{\pi}{8}\cdot cos \dfrac{\pi}{8}=8 \ cos^2 \dfrac{\pi}{8}$

Agora, como queremos saber se é maior ou igual a 6, então:
$8 \ cos^2 \ x \ge 6 \Rightarrow cos \ x \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in \left[0, \dfrac{\pi}{6} \right ]$
Como pi/6 é maior que pi/8, então segue que:
$8 \ cos^2 \ \dfrac{\pi}{8} > 6$

Ne o "não" em negrito for o gabarito, então o gabarito está errado. Verifiquei computacionalmente, e o valor da expressão é:
6,83