Pontos notáveis

por Fabinho snow Ter 27 Out - 16:24

Seja um triângulo ABC, onde as alturas AP, BQ e CR se interceptam no ponto H interno ao triângulo. Sabendo-se que H é o ponto médio de AP e que CH é o dobro de HR. pode-se afirmar que o angulo ABC é:
a) O triplo da medida de ACR
b) O dobro da medida de CAP
c) 1/3 da medida de AHC
d) Metade da medida de BAC
e) O dobro da medida de ABH

gabarito:

por René Onzecartes Qua 28 Out - 19:07

ABC + APB + BAP = 180° => ABC + 90° + BAP = 180° => ABC = 90° - BAP
AHR + ARH + BAP = 180° => AHR + 90° + BAP = 180° => AHR = 90° - BAP

Então, ABC = AHR. Mas AHR = PHC, pois esses são opostos pelo vértice (o.p.v). Logo, ABC = AHR = PHC.

AHR = PHC => cos(AHR) = cos(PHC) => RH/AH = PH/CH. Porém, PH = AH e CH = 2.RH (dados da questão).

Assim, substituindo PH por AH e CH por 2.RH, temos que RH/AH = AH/2.RH => 2.RH² = AH² => RH²/AH² = 1/2 => RH/AH = √2/2 = cos(AHR) = cos(ABC) = cos(45°). Desse modo, ABC = AHR = PHC = 45°.

Podemos perceber que (na altura AP) PHC + AHC = 180° => AHC = 180° - PHC. Mas como PHC = ABC = 45°, então AHC = 180° - 45° => AHC = 135°.

AHC = 135° e ABC = 45° => ABC = (1/3).AHC

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Acho que está certa, a minha resolução:

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