Desafios F.A. 21

por Anderson_007 Dom 09 Jun 2013, 00:01

(XVII OCM) Se $x^2 + x + 1 = 0$ , calcule o valor numérico de:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(x^2+\frac{1}{x^2})^2 + (x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^{27}+\frac{1}{x^{27}})^2$

por **Elcioschin** Dom 09 Jun 2013, 10:14

Dica

x + 1/x = - 1 -----> equivale a ----> x² + x + 1 = 0

(x + 1/x)² = (-1)² ----> (x + 1/x)² = 1 ----> x² + 1/x² + 2 = 1 ----> x² + 1/x² = - 1 ----> (x² + 1/x²)² = 1

(x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3.(x + 1/x) ---> (-1)³ = x³ + 1/x³ + 3.(-1) ----> x³ + 1/x³ = 2 ---> (x³ + 1/x³)² = 4

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por Anderson_007 Dom 09 Jun 2013, 14:22

Muito bom, mestre Elcioschin! =)

por Anderson_007 Sex 14 Jun 2013, 06:39

Elcioschin, veja se aprova esse método também:
$x^{3}-1=(x-1)(x^2+x+1)= (x-1)(0)\Rightarrow x^3-1=0\Rightarrow x^3=1.\\Logo, x^4=x,x^5=x^2,x^6=x^3...\\(x+\frac{1}{x})^2= (\frac{x^2+1}{x})^2=(\frac{-x}{x})^2=(-1)^2 = 1\\ (x^2+\frac{1}{x^2})^2 = (\frac{x^4+1}{x^2})^2=(\frac{x+1}{x^2})^2=(\frac{-x^2}{x^2})^2 = (-1)^2=1\\ (x^3+\frac{1}{x^3})^2=(1+\frac{1}{1})^2=(2)^2=4\\ \begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix}\\ Fazendo\; analogamente, entao, teremos\; \; sempre\; tal\; sequencia.\; Logo \; a\; soma \; sera: 9(1+1+4)=54$
Também acho que poderia ser 108, pois se x³ = 1, então x = 1. No que foi que eu errei nesse último raciocínio? A resposta oficial é 54 mesmo...