(fuvest-SP) polinômios e resto

Relembrando a primeira mensagem :

Sejam r1 e r2 os restos das divisões de um polinômio p(x) por x-1 e x+1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de p(x) por x²-1, então R(0) é igual a:

a) r1-r2
b) (r1 + r2)/(r1*r2)
c) r1+r2
d) r1*r2
e) (r1 + r2)/2

gabarito: alternativa e

Só para justificar a explicação certíssima do Johnny --> o grau máximo do Resto da divisão de p(x) por d(x), tal que d(x) tem grau n, será n-1, pois qualquer grau superior a esse tornará sua divisão possível por p(x)---> numa divisão procuramos sempre multiplicar um número por outro e diminuir de um terceiro, de modo que o resultado não seja divisível pelo primeiro e isso só é possível se esse resultado for menor que o divisor ---> Exemplificando: 7/2 --> multiplicamos três por dois e diminuímos de  sete, encontrando 1, sendo esse o resto da divisão --> pq é resto? pois nenhum número que multiplicado por dois será menor ou igual a um --> ao aplicarmos o mesmo princípio, pensando em termos de grau e não de valor numérico, para polinômios, vemos a validade da explicação do Johnny.

Obrigado, Srs.

Olá Elcio, não entendo porque o Q(0) seria igual a 0.
Agradeço!

hygorvv escreveu:vejamos
x²-1=(x-1)(x+1)
p(x)=q(x)(x²-1)+R(x)
p(x)=q(x)(x-1)(x+1)+R(x)
Note que R(x) é da forma ax+b
p(x)=q(x)(x-1)(x+1)+ax+b

R(0)=b
Pelo teorema do resto
p(1)=r1=a+b
p(-1)=r2=-a+b

somando
b=(r1+r2)/2


Espero que seja isso e que te ajude.

Também não entendi uma coisa, se o resto deve ter grau menor que o divisor, se o R1 é resto da divisão de P(x) por    x-1, o seu grau seria 0, ou seja, só o termo independente, mas como visto na resolução acima, o R1=a+b, sendo que o 1*a como substituição do x está implícito.

Qual a explicação pra isso?
Obrigado!!

pedropand escreveu:
Também não entendi uma coisa, se o resto deve ter grau menor que o divisor, se o R1 é resto da divisão de P(x) por    x-1, o seu grau seria 0, ou seja, só o termo independente, mas como visto na resolução acima, o R1=a+b, sendo que o 1*a como substituição do x está implícito.

Qual a explicação pra isso?
Obrigado!!

Perceba que R1 = a+b é uma constante (grau 0), isso não tem problema algum. É diferente de dizer que R1 = ax+b.
Observe: Seja f(x) = 4x²+2x+3 e seja R = f(1). Concorda que R=9 ? Isso te permite dizer que R é uma constante, certo? Ou você diria que é um polinômio de grau 2 só pq veio de um? O mesmo aconteceu na questão

pedropand escreveu:
Olá Elcio, não entendo porque o Q(0) seria igual a 0.
Agradeço!

Não entendi essa dúvida, o Elcio não disse isso

Olá CaiqueF, obrigado pela resposta!

O que eu entendi é que o R1 está na forma ax+b, e por isso, quando o x=1 (p(1)), o R1 fica como a+b, sendo que o x foi substituído por 1. Não seria isso?

A parte do Q(0) ser igual a 0 é que, fazendo p(x)=(x+1)*(x-1)*Q(x) + R(x), para R(0) ser igual a b, o Q(0) seria igual a 0, para "eliminar a multiplicação" e só sobrar o resto: b.

Obrigado novamente!

Alguém sabe por quê?

Eu também não entendi a solução original:

Vou fazer, por exemplo: P(x) = x² - 3.x + 5 

  x² - 3.x + 5. |x - 1
-x² + x ......-. |x - 2
--------
.... - 2.x + 5
.... +2.x .- 2
---------------
Resto: r1 = 3 

x² - 3.x + 5. |x + 1
-x² - x ......-. |x - 4
--------
.... - 4.x + 5
.... +4.x + 4
---------------
Resto: r2 = 9 

 x² - 3.x + 5. |x² - 1
-x² ...... + 1. |1
------------------------
R(x) = -3.x + 6

Para x = 0 ---> R(0) = 6

Neste caso: R(0) = (r1 + r2)/2 ---> 6 = (3 + 9)/2 ---> Alt. E

Elcio, gostei da resolução!
Mas isso não seria coincidência?

Nem se dê o trabalho de responder, fiz mais um caso e deu a mesma coisa.

Agradeço muito, e uma última pergunta, é válido fazer uma resolução assumindo valores em uma prova dissertativa?

Abraços