(fuvest-SP) polinômios e resto

Relembrando a primeira mensagem :

Sejam r1 e r2 os restos das divisões de um polinômio p(x) por x-1 e x+1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de p(x) por x²-1, então R(0) é igual a:

a) r1-r2
b) (r1 + r2)/(r1*r2)
c) r1+r2
d) r1*r2
e) (r1 + r2)/2

gabarito: alternativa e

Eu apenas mostrei um exemplo para provar que o gabarito poderia estar certo.
É necessário provar, logo, eis a prova:

P(x) : (x - 1) deixa resto r1 ---> P(1) = r1 ---> P(x) = Q'(x).(x - 1) + r1

P(x) : (x + 1) deixa resto r2 --> P(-1) = r2 --> P(x) = Q"(x).(x + 1) + r2

P(x) : x² - 1 deixa resto de R(x) = m.x + n ---> P(x) = q(x).(x² - 1) + m.x + n

Nesta última equação:

Fazendo x = 1 ---> P(1) = q(x).0 + m.1 + n ---> r1 = m + n ---> I

Fazendo x = -1 --> P(-1) = q(x).0 + m.(-1) + n --> r2 = - m + n ---> II

I - II ---> r1 - r2 = 2.m ---> m = (r1 - r2)/2

I + II ---> r1 + r2 = 2.n ---> n = (r1 + r2)/2

R(x) = [(r1 - r2)/2].x + (r1 + r2)/2 

Para x = 0 ---> R(0) = (r1 + r2)/2 ---> bingo!

Agora sim ficou claro! Obrigado novamente pela atenção!

A soma, R1+R2, ocorre porque o resto da divisão do polinômio p(x)  por x^2-1 é igual a soma dos restos da divisão do polinômio p(x) por x-1 e x+1, que são iguais a, respectivamente, R1 e R2...?!