Geometria + Teoria dos números (OCM 2019)

Este é um problema do nível 3 da olimpíada cearense e tem uma solução bem interessante.

Seja ABCD um trapézio com todos os lados e a altura inteira. Prove que seu perímetro é par e sua área é inteira

O trapézio deverá ser isósceles:
Seja B' a base maior AB, b a base menor, h a altura e L os lados iguais
Sejam C' e D'  os pés das perpendiculares de C e D sobre AB ---> AB = AD' + D'C' + BC'

Por exemplo, para L = 5 e h = 4 ---> AD' = BC' = 3 ---> B' = b + 3 + 3 ---> B' = b + 6

b pode ser qualquer valor inteiro: b < B'

Perímetro = 2.L + 2.b + 2.AD' = 2.(L + b + AD') = par

S = (B' + b).h/2 ---> S = (b + 6 + b).4/2 ---> S = 4.b + 12 ---> S inteiro

Obviamente existem infinitas soluções: basta variar L, h e AD' de modo que o triângulos AD'D e BC'C sejam retângulos com lados inteiros.

Olá, mestre.
O trapézio não precisa ser isósceles!
Por exemplo, não é dificil verificar a existencia do trapézio de base menor 4, base maior 18, lados 13 e 15 e altura 12.
seu perímetro é 50, par, e sua área é 132, inteira.

Concordo!

Aqui vai a solução da questão:

A gente pode simplificar a questão e provar somente para triangulos:



Sendo [latex]ABCD[/latex] o trapézio, com medidas inteiras indicadas na figura, seja [latex]E[/latex] o ponto sobre [latex]AB[/latex] tal que [latex]DE \parallel CB[/latex] ou.
Observe o triângulo [latex]ADE[/latex]. Ele tem lados de valor [latex]d,\ c \text{ e } a-b[/latex] (todos inteiros) e altura [latex]h[/latex] inteira.
Seu perímetro é [latex]d+c+a-b[/latex], que tem a mesma paridade de [latex]a+b+c+d[/latex], que é o perímetro do trapézio.
Além disso, sua área é [latex](a-b)h/2[/latex]. Ora, [latex](a-b)h[/latex] tem a mesma paridade de [latex](a+b)h[/latex], de modo que [latex](a-b)h/2[/latex] é inteiro se, e somente se [latex](a+b)h/2[/latex] é inteiro, e então a área do trapézio é inteira e seu perímetro é par se e somente se a área do triângulo é inteira e seu perímetro é par.
Então podemos provar o resultado só para os triângulos e temos o que queríamos.

Vamos enunciar isso novamente: Dado um triangulo com todos os lados e alguma altura inteira, queremos provar que seu perímetro é par e sua área inteira.


Dado o triangulo com as medidas como na figura, sua área é [latex]ch/2[/latex]. mas pela formula de Heron, sua área também pode ser dada por
[latex]\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)}{16}}[/latex]
de forma que
[latex]4(c^2h^2)=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)[/latex]
Como todos os valores são inteiros,
[latex]2|(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)[/latex]
Ora, perceba que cada fator da expressão anterior tem mesma paridade, então se 2 divide algum deles, 2 divide todos eles!
Particularmente, 2 divide [latex]a+b+c[/latex] e o perimetro do triangulo é par. Tome
[latex]
\begin{cases}
a+b+c=2p\\
a+b-c=2q\\
a+c-b=2r\\
b+c-a=2s
\end{cases}
[/latex]
para inteiros [latex]p,\ q,\ r,\ s,[/latex] então
[latex]\begin{align*}
&4c^2h^2=(2p)(2q)(2r)(2s)\\
\implies& c^2h^2=4pqrs
\end{align*}[/latex]
de modo que 2 divide [latex]ch[/latex], e portanto [latex]ch/2[/latex] é inteiro.