Saldo menor que a metade do financiamento.

Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 1,5% a.m., com prestações postecipadas mensais constantes e iguais a R$ 1.500,00. A partir de quantas prestações pagas o seu saldo devedor passará a ser menor que a metade do valor financiado?
[não tenho gabarito]

Luiz 2017 escreveu:

Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 1,5% a.m., com prestações postecipadas mensais constantes e iguais a R$ 1.500,00. A partir de quantas prestações pagas o seu saldo devedor passará a ser menor que a metade do valor financiado?
[não tenho gabarito]

Solução:

Equação geral do saldo devedor, após o pagamento da n-ésima parcela de uma série uniforme de pagamentos, sob o regime de juros compostos:

S_n = PV \cdot (1+i)^{n} - PMT \cdot \frac{(1+i)^{n} -1}{i}

onde:

PV = 50.000,00 (valor presente)
S_n = 50000/2 = 25.000,00 (valor do saldo após a prestação n)
PMT = 1.500,00 (valor da prestação mensal)
i = 1,5% = 0,015 a.m. (taxa de juros mensal)
n = ? (nº de prestações mensais)

Substituindo valores:

25000 = 50000 \cdot (1+0,015)^{n} - 1500 \cdot \frac{(1+0,015)^{n} -1}{0,015}

Multiplicando ambos os membros por 0,015:

750 \cdot (1,015)^n = 1125

Dividindo ambos os membros por 750:

(1,015)^n = 1,5

n = \frac{\log(1,5)}{\log(1,015)}

n = 27,233323669

Este é tempo (em meses) no qual o saldo devedor se reduzirá exatamente à metade do valor financiado.
Com n > 27,233323669 o saldo passará a ser menor que a metade do financiamento.

Como n é um número inteiro de meses, então a resposta é:

\boxed{\text{A partir da 28a. prestacao.}}