Frequência no MHS

Uma massa de 9,0 kg, presa a uma mola ideal, tem um período de 6,0 segundos quando oscila na horizontal de –5 cm a 5 cm. Considerando o movimento harmônico simples, qual será a frequência de oscilação dessa mola se a amplitude alterar para 10 cm e a massa para 1,0 kg?

A) 4,00 Hz B) 1,33 Hz C) 0,50 Hz D) 0,17 Hz

Gabarito C

Não consegui chegar no resultado, alguém pode ajudar?

Olá! Lembre-se que a expressão que determina o período de um oscilador massa mola é:
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}[/latex]
Onde T é o período, m a massa e k a constante da mola.
Perceba que o período não depende da amplitude. Ou seja, o enunciado fornece o valor da amplitude apenas para confundi-lo na resolução. Você pode encontrar em livros de física uma explicação detalhada sobre a não dependência da amplitude para o período da oscilação, mas isso está relacionado à energia do sistema. Se você já estudou MHS irá se lembrar que o oscilador ideal conserva sua energia, ficando em um ciclo infinito de converter energia potencial em energia cinética. Quando ele está na amplitude máxima tem energia potencial máxima e cinética zero, e quando passa pelo ponto x=0 tem energia cinética máxima (velocidade máxima) e energia potencial zero. Assim, quanto maior a amplitude, maior a energia potencial, e mais energia terá para converter em energia cinética em x=0, assim a massa se movimenta mais rápido para amplitudes maiores, de tal forma que essa velocidade sempre está relacionada com a amplitude para manter a frequência, e consequentemente o período, constantes.

Voltando ao problema, você pode resolvê-lo substituindo os valores na expressão, encontrando o valor de k e depois utilizando essa valore de k (já que a constante da mola não muda, para encontra o período quanto m=1. No entanto, irei propor uma outra resolução aqui:
Partindo da expressão do período do oscilador, perceba que a massa na primeira situação (9kg) diminui para 1kg, ou seja, a massa na segunda situação é 1/9 da massa m da primeira situação. Assim, a equação do período para a segunda situação (massa 1kg) fica:
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{9}m}{k}} \rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{9k}}[/latex]
Como a raíz de 1/9 é 1/3, isso fica:
[latex]T=2\pi \frac{1}{3}\sqrt{\frac{m}{k}} \rightarrow T=\frac{1}{3}(2\pi \sqrt{\frac{m}{k}})[/latex]
Perceba que o termo que destaquei entre parênteses é justamente a expressão para o período da primeira situação, e o enunciado nos informou que esse período é de 6 segundos. Portanto, podemos substituir para encontrar o período da segunda situação:
[latex]T=\frac{1}{3}6=2[/latex]
Descobrimos então que o período é de 2 segundos quando a massa é igual 1 kg.
No entanto, o enunciado pede a frequência. Sabendo que a frequência é o inverso do período, temos: f=1/T=1/2=0,5Hz.