Dúvida -Números Complexos

Olá pessoal
Tenho uma dúvida nao na questao mas sim em fatoraçao de números complexos
que eu aprendi aqui no forum Numeros complexos Gausianos

Fiz ela por binomio de Newton e deu certinho a resposta ,contudo
tentei fazer ela pela forma de fatoraçao esta dando uma outra resposta

(IME)
Mostre que a seguinte expressão representa um complexo (ou mais de um), e escreva-o(s) na forma x + y.i
1/√7+ 24i



gabarito= + ou -(4 -3i/25)
Mas fazendo por fatoraçao
7 + 24i .7- 24i=625
fatorando:(2 + i).(2-i).(2+i).(2-i).(2+i).(2- i).(2+i).(2-i)
(2 + i)^4 substituindo 1/√(2 + i)^4 dará 1/(2 + i)^2
o resultado vai ser: 3 - 4i/25
Alguém pode me explicar o que há de errado?
pq os resultados dão diferentes

Bruna

Muito confusa sua explicação!!!! Poste APENAS o enunciado.

a) Qual é o correto? 1/ \/7 + 24i ou 1/(\/7 + 24i)

Se for a segunda forma você pecou, ao não colocar parenteses! Isto é básico no fórum!!!!

b) Na fatoração você escreveu 7 + 24i .7 - 24i

Novamente a falta de parenteses!!!!
E porque desapareceram os sinais de raiz quadrado dos numeros 7 ?
E, por favor use o sinal * para indicar produto (ao invés de ponto)

Concorda comigo que está muito confuso?

Sim Elcio Desculpe,
o Gabarito correto é + ou - (4 -3i/25 )
que eu consegui achar fazendo por binômio de Newton
Mas eu fazendo por fatoraçao (por Números Complexos Gausianos)
da 3 - 4i/25

Bruna

Infelizmente você não respondeu minhas perguntas e nem seguiu minhas recomendações sobre o uso correto de parenteses;

Você escreveu a expressão 1/√7 + 24i. Note que, do jeito que está escrito permite 3 interpretações:

1) O primeiro termo é 1/√7 e o segundo é + 24i

2) O denominador é 1 e o numerador é √7 + 24i Neste caso deveria estar escrito assim: 1/(√7 + 24i)

3) A raiz abrange tudo no denominador. Neste caso deveria estar escrito assim: 1/√(7 + 24i)


Vou tentar ser advinho: acho que é a alternativa 3

x = 1/√(7 + 24i) ----> Multiplicando pelo conjugado:

x = √(7 - 24i)/√(7 + 24i)*√(7 - 24i) ----> x = √(7 - 24i)/√[(7 + 24i)*(7 - 24i)] ----> x = √(7 - 24i)/√(7² - 24²i²)

x = √(7 - 24i)/√(49 + 576) ----> x = √(7 - 24i)/√625 -----> x = √(7 - 24i)/25

√(7 - 24i) = a + bi ----> 7 - 24i = (a + bi)² ----> 7 - 24i = a² - b² + 2abi ----> Igualando termo a termo:

2ab = - 24 ----> ab = - 12 ----> b = -12/a

a² - b² = 7 ----> a² - (-12/a)² = 7 ----> a² - 144/a² = 7 ----> (a²)² - 7a² - 144 = 0 ---> Equação 2º grau:

Discriminante: D = b² - 4ac ----> D= (-7)² - 4*1*(-14) ----> D = 625 ----> √D = 25

Raiz positiva ----> a² = (7 + 25)/2 ----> a² = 16 ----> a = ± 4 ----> b = -12/(±4) ----> b = ± 3

x = ± (4 + 3i)/25