[DÚVIDA] Números Complexos

por **Kongo** Sáb 07 Jul 2012, 12:36

Sendo Z e W números complexos tais que:

1) |Z| = |W| = 1
2) |(Z+W)/Z.W| = V10

Determine a parte real de Z/W

Gabarito:

Spoiler:

por **Robson Jr.** Sáb 07 Jul 2012, 14:55

$\small \\ Como \ |Z|=|W|=1, vem: \\\\|\frac{Z+W}{Z.W}|=\sqrt{10} \Rightarrow |\frac{Z+W}{W}|.\frac{1}{|Z|}=\sqrt{10} \Rightarrow |\frac{Z}{W}+1|=\sqrt{10} \\\\ Analogamente:\\\\ |1+\frac{W}{Z}|=\sqrt{10} \\\\ Seja \ \frac{Z}{W}=X. \ Observe \ que \ \frac{1}{X}=\frac{\overline{X}^}{|X|^2}=\overline{X}.\\\\ Logo \ temos \ duas \ relações: \\\\ |X+1|=\sqrt{10}\\|\overline{X}+1|=\sqrt{10}$

$\small \\ Multiplicando \ ambas, \ teremos:\\\\ |X+1|.|\overline{X}+1|=10 \Rightarrow |X\overline{X}+X+\overline{X}+1|=10 \\\\ Já \ mostrei \ que \ \overline{X}=\frac{1}{X}. \ Logo \ X\overline{X}=1:\\\\ |X+\overline{X}+2|=10 \\\\Repare \ que \ X+\overline{X}=2Re(X): \\\\ |2Re(X)+2|=10 \Rightarrow Re(x)=4 \ ou \ Re(X)=-6$

Não encontrei um critério que permitisse descartar Re(X) = -6...

EDIT:

Minhas respostas e seu gabarito não entram em contradição com o problema?

|Z|=|W|=1 ⇒|(Z/W)| = |Z|/|W| = 1.

|(Z/W)| = 1 ⇒ Re(Z/W)² + Im(Z/W)² = 1, o que é impossível para |Re(Z/W)| > 1...

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