Dúvida Números complexos

por alexandrehimura Seg 15 Set 2014, 12:46

Dado um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência com centro em sua origem, tem um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo -√3 + i . Quais números complxs estão associados aos outros vértices desse triângulo?

Desde já agradeço.

por PedroCunha Seg 15 Set 2014, 14:03

Olá.

Se -\sqrt{3} + i é um dos vértices, é porque ele é uma das raízes cúbicas de algum número complexo. Vamos manipular ele um pouco:

\\ -\sqrt{3} + i = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i \right) = 2 \cdot cis \left( \frac{5\pi}{6} \right)

Supondo que essa seja a primeira raiz, sendo elas da forma \\ \frac{\frac{5\pi}{2} + 2k\pi}{3}, k = 0,1,2 , as outras raízes serão:

\\ 2 \cdot cis \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -2i
e
\\ 2 \cdot cis \left( \frac{13\pi}{3} \right) = \sqrt3 + i

Assim, os outros vértices são -2i \text{ e } \sqrt3 + i .

Att.,
Pedro

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