Questão de probabilidade

Em uma gincana escolar sobre conhecimentos de matemática, foi disponibilizada uma urna com 9 bolas, cada uma marcada com uma das letras de A a I. Uma prova da gincana consiste no seguinte: Francisco sorteia duas bolas para entrarem na caixa I, três bolas para entrarem na caixa II, e as quatro bolas restantes são colocadas na caixa III. Lucas, seu parceiro de equipe, precisa calcular a probabilidade de que haja uma bola com vogal em cada caixa. Qual resposta Lucas deve dar?
a)2/7
b)1/7
c)2/9
d)1/9
e)2/21


Alternativa correta letra A

Vamos lá, eu consegui chegar ao resultado 2/7 a partir dos cálculos seguintes. Cheque-os, pense e veja se concorda comigo.

Temos 9 bolas e 3 caixas para colocá-las dentro. Na 1a caixa, devemos colocar 2 bolas, na 2a caixa devemos colocar 3 bolas e o que sobrar devemos colocar na quarta caixa, de modo que em cada caixa fique uma vogal.

A primeira coisa a ser percebida é que podemos colocar as vogais dentro das caixas de 6 maneiras distintas. Para descobrir isso, basta fazer Permutação Simples de 6 elementos. Guarde esta informação.

Vamos começar com a primeira caixa. Temos de tirar uma vogal e uma consoante. A probabilidade de tirar uma vogal é 3/9 e a probabilidade de se tirar uma consoante, após ter tirado uma vogal, é 6/8. Logo:

3/9 * 6/8 = 3/12 = 1/4


Agora vamos à segunda caixa. Temos de tirar uma vogal e duas consoantes. Seguindo o mesmo raciocínio anterior, temos que a probabilidade de se tirar uma vogal é 2/7, e após tirar essa vogal, a probabilidade de se tirar uma consoante qualquer é 5/6 e, depois de tirar essa consoante, a probabilidade de se tirar a última consoante é 4/5.

Obs.: note que nos dois casos temos extrações sem reposição, de modo que tenhamos eventos dependentes, cuja probabilidade de um influencia na probabilidade do outro.

Logo:

2/7 * 5/6 * 4/5 = 2/7 * 2/3 * 4/21

Não há necessidade de se calcular a probabilidade de bolas para a terceira caixa, pois de qualquer forma o que sobrar irá para ela.

Assim, considerando a probabilidade da caixa 1 e da caixa 2, temos dois eventos sucessivos, então devemos multiplicar:

1/4 * 4/21 = 1/21

Agora, voltamos para quando eu afirmei que existem 6 formas de colocar as vogais nas 3 caixas. Considerando isso, devemos multiplicar 1/21 por 6:

1/21 * 6 = 6/21 = 2/7

Espero ter ajudado!

Muito bom! Estava com dificuldade também para a realização da questão. Obrigado!

Realmente muito bom! Muito obrigado pela explicação.