Equação envolvendo módulo

por Motteitor Sex 03 Mar 2017, 09:21

Resolva a inequação: x² - 2|x| - 24 < 0

o gabarito é ]-4;4[
mas eu não consigo achar esse conjunto, o único que achei foi ]-6;6[.

por superaks Sex 03 Mar 2017, 10:22

Olá Motteitor.

Pela propriedade de módulo tempos: |x²| = |x|² = x².

E sabendo também que:

|x| > a <--> x > a ou x < -a
|x| < a <--> -a < x < a

Organizando a equação:

|x|² - 2|x| - 24 < 0

|x| = y

y² - 2x - 24 < 0
y² - 2.1x - 24 < 0 + (1²)
y² - 2.1x + 1² < 24 + 1
(y - 1)² < 25
√(y - 1)² < √25
-5 < y - 1 < 5 + (1)
-4 < y < 6

-4 < |x| <--- Absurdo.

Portanto, temos:

|x| < 6

-6 < x < 6

Em notação de intervalo:

]-6, 6[ ou (-6, 6)

Não vejo a resposta sendo ]-4, 4[ ..

por **Jose Carlos** Sex 03 Mar 2017, 10:50

x² - 2*| x | - 24 < 0

para x < 0

x² + 2x - 24 < 0 -> raízes: x = - 6 ou x = 4 (I)

para x >= 0

x² - 2x - 24 < 0 -> raízes: x = - 4 ou x = 6 (II)

Fazendo a interseção teremos:

................... - 6....... -4............ 4 ............6..........
(I): ...............****************.........................
(II).............................*****************..........

(I) ∩ (II) -> ( - 4, 4 )

por superaks Sex 03 Mar 2017, 18:32

Olá Mestre José. Uma dúvida a respeito da minha resolução..

Pelo que sei de módulo não é válido fazer uma inequação modular onde o termo começa negativo, ex: |x| < -a.

Queria saber se isso saber se isso se aplica no caso de módulo de |x| > -a.

Grato desde já!

por **Elcioschin** Sex 03 Mar 2017, 18:52

superaks

O colega José Carlos não escreveu |x| < -a

Ele escreveu: "Para x < 0 ---> x² + x - 24 < 0" e "Para x > 0 ---> x² - x - 24 < 0"

E isto está correto sim: é o mesmo que escrever:

Para x < 0 ---> x² - (- x) - 24 < 0 ---> x² + x - 24 = 0

Para x > 0 ---> x² - (+ x) - 24 < 0 ---> x² - x - 24 < 0

por superaks Sex 03 Mar 2017, 19:36

Muito grato Mestre Elcioshin! Eu consegui compreender a solução do Mestre José, minha dúvida agora é em relação a outra coisa..

A minha dúvida é a respeito da seguinte relação:

1º - |x| < a <----> -a < x < a
2º - |x| > a <----> x > a ou x < - a

Pelo que eu aprendi sobre inequação + módulo, nessa relação teria a condição do a ser maior que 0.

Minha dúvida agora é em relação a somente ao 1º caso. Olhando a 1ª relação agora, me parece que se o a for negativo não teria problema. Queria saber se alguém poderia me confirmar isso..

por **Elcioschin** Sex 03 Mar 2017, 22:01

Não é assim que escreve os sinais.

|x| > a ---> x < - a ou x > a

|x| < a ---> - a < x < a

por superaks Sáb 04 Mar 2017, 05:12

Perdão.. é a falta de atenção.. corrigido!

por Motteitor Sáb 04 Mar 2017, 12:07

To apanhando com essas inequações envolvendo módulo, as equações não foram tão ruins, mas inequações tá dando trabalho.

por superaks Sáb 04 Mar 2017, 17:11

Acredito que realmente o intervalo é (-6, 6), pois se substituirmos o valor por 5 por exemplo, que está fora do intervalo do gabarito (-4, 4), a desigualdade é verdadeira, veja:

x² - 2|x| - 24 < 0
5² - 2|5| - 24 < 0

25 - 10 - 24 < 0
-9 < 0.