Critério de divisibilidade

1. Qual é o resto da divisão do numero 59^15 por 3?
A.0
B.1
C.2
D.3
E.4

Eu somei 5+9,dividi por 3 e achei resto 2 mas tenho certeza que essa resposta foi na sorte ent quero mto saber a resolução certa

Boa noite.

59 = 57 + 2 = 19.3 + 2 --> resto 2

59² = 3481 = 1160.3 + 1 --> resto 1

Se continuarmos, perceberemos que o resto da divisão de 59^k, k = 1,2,3,..., por 3 será 2, se k for ímpar, ou 1, se k for par. Que tal provarmos?



Estamos procurando pelo número independente de 3. A escolha óbvia é j = k, pois 3^0 = 1. Então terminamos com 2^k.

Para k = 1, o resto será 2^1 = 2.
Para k = 2, o resto será 1, pois 2^2 = 4 = 3+1.

Os demais números 2^k serão todos do tipo N.3+r, onde N é um número natural e r um número também natural, menor do que 3. Como r não pode ser zero, pois nesse caso 2^k seria sempre divisível por 3, o que é um absurdo, r = 1 ou r = 2. O termo N.3 é ímpar, se k for par, e par, se k for ímpar. Assim, para k ímpar, r = 2, pois 2^k é sempre par. Analogamente, para k par, r = 1. QED.

Obrigado