Mínimo e máximo de funções trigonométricas

por Ada Augusta Sáb 20 Abr 2024, 23:55

Qual a melhor forma de se obter o mínimo e máximo desse tipo de função?
Derivar seria loucura? Quero dizer, acredito que derivar seja mais benéfico em raízes de grau maiores, não é?

Ex: f (x) = 3 - sen²(2x+π)

Resposta: 2 e 3, respectivamente.

por JaquesFranco Dom 21 Abr 2024, 00:16

Basta perceber que [latex]-1\leqslant senx \leq 1 \Rightarrow 0\leqslant sen^2x \leqslant 1[/latex]
A função tem máximo quando sen^2(x) = 0, e mínimo quando sen^2(x) = 1.

por **Giovana Martins** Dom 21 Abr 2024, 07:24

Um jeito ligeiramente diferente do apresentado pelo colega Jaques.

[latex]\\\mathrm{-1\leq sin(\theta )\leq 1\ \therefore\ 0\leq sin^2(\theta )\leq 1\leftrightarrow -1\leq -sin^2(\theta )\leq 0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \therefore\ 3-1\leq 3-sin^2(\theta )\leq 3\leftrightarrow 2\leq 3-sin^2(\theta )\leq 3}\\\\ \mathrm{Para\ \theta =2x+\pi:2\leq 3-sin^2(2x+\pi)\leq 3\leftrightarrow 2\leq f(x)\leq 3}[/latex]

Talvez você tenha alguma resistência à manipulação θ = 2x + ∏ que eu fiz, pois a princípio ela é pouco intuitiva. A manipulação que eu fiz funciona pelo seguinte motivo: seja a função f(x) = a ± bsin(cx ± d). Os únicos parâmetros que alteram a imagem de f(x) e, portanto, os seus pontos de máximo e mínimo são os parâmetros "a" e "b".

Sugiro fortemente que veja este applet: CLIQUE AQUI.

Dentro do applet, faça variar os parâmetros "a", "b", "c" e "d" e veja o que acontece com f(x).

A propósito, eu sugeriria o Geogebra para te auxiliar no estudo das funções trigonométricas. Ele ajuda demais no entendimento do que está acontecendo em se tratando desse tipo de função. Não precisa baixar. Caso tenha interesse, procure por: "Geogebra Classic" no Google. Ele é tranquilinho de mexer caso você queira fazer coisas simples, como esboçar gráficos.

por Ada Augusta Dom 21 Abr 2024, 13:53

Obrigada pela ajuda, pessoal.
Acho que analisar os gráficos das funções é a melhor forma de aprender mais sobre o comportamento delas. Quando tive dificuldade com função modular, fazer isso realmente fez diferença. Grata pela dica, Giovana!

por Ada Augusta Sáb 27 Abr 2024, 11:44

Que manipulação vocês utilizaram para que sen²(x) aparecesse? Não entendi o porquê à esquerda apareceu um 0.

por **Giovana Martins** Sáb 27 Abr 2024, 12:02

Ada Augusta escreveu:
Que manipulação vocês utilizaram para que sen²(x) aparecesse? Não entendi o porquê à esquerda apareceu um 0.

Na verdade, eu sabia disso pelo fato de que eu tenho decorado o comportamento a função P(x) = sin²(x). Note como se comporta a função P(x):

A imagem de P(x) está compreendida no intervalo [0,1].

por **Giovana Martins** Sáb 27 Abr 2024, 12:16

Mas dá para pensar nisso de uma forma um pouco intuitiva também. Veja:

A gente sabe que - 1 ≤ sin(x) ≤ 1. Agora, vamos pensar de forma separada: quando sin²(x) ≤ k, qual o maior valor que k pode assumir já que ele depende de sin²(x)? Só pode ser 1, afinal, o maior valor que sin(x) pode assumir é 1. Daqui então entendemos que sin²(x) ≤ k = 1.

Agora, para k ≤ sin²(x), qual o menor valor que k pode assumir? Considerando que sin(x) varia de - 1 até 1, k assume o seu menor valor quando sin(x) = 0, pois sin²(x) no intervalo de - 1 até 1 assume o seu menor valor quando sin(x) = 0.

É por isso que temos 0 ≤ sin²(x) ≤ 1.