Máximo e mínimo de k.sen m.x+ p.sen n.x ...

Olá pessoal,

sempre me deparo com questões em que envolvem uma equação do tipo:

A+ K.Sen (m.x)+ P.Sen (n.x)...

ou 

A+ K.Sen (m.x)+ P.Cos (n.x)...

Em que mais de uma função trigonométrica forma a função principal.

Normalmente a questão pergunta se a função intercepta determinada reta,
o jeito mais fácil é tentar supor um "máximo-máximo" para a função.

Aqui é um exemplo desse tipo de exercício:

https://pir2.forumeiros.com/t43037-trigonometria-fuvest-96

Existe algum jeito de descobrir o máximo e o mínimo desse tipo de função usando
os conhecimentos do Ensino Médio ou seguindo alguma lógica?

Obrigado.

Eu aprendi a lidar com esse tipo de questão, pelo livro:
Trigonometria e Números Complexos, Livro da SBM.
Pelo livro ensina 3 maneiras de achar o resultado.
Tentemos resolver uma equação como essa:
a . sen x + b . cos x = c, onde a e b são constantes.
Neste caso, vale reduzir ela para melhor compreensão:



Neste caso, reduzimos para cos, se quisermos achar o valor de máximo de c, então o valor de cos (x-a) deve ser o máximo possível.
(O livro mostra 3 métodos, contudo, pra mim este é o mais fácil).

Agora as coisas como
a . sen (n.x) + b . cos (n . x) = c
r=√(a²+b²)
(a/r). sen (n.x) + (b/r) . cos (n.x) = c/r
sen (a) . sen (n . x) + cos (a) . cos (n.x)=c/r
cos (n . x - a ) = c/r
r . cos (n . x - a) = c
Então o valor de c será maixmo quando cos (n . x - a) for o máximo, e mínimo se o valor de cos for o mínimo.

Agora as coisas como
a . sen (n. x ) + b. cos (m . x) = c
Eu ainda não sei como te ajudar, li por enquanto metade do livro, então ainda não se muito.
Mas creio que usa as mesmas coisas acima, e usa também Prostaférese.

Quanto à equações onde tem:
K + a . sen (nx) + b. cos (mx) = c, o método é o mesmo, contudo, o valor de k influencia apenas para determinar a posição da função, se sobe ou desce. O valor de k por exemplo não inclina a função, nem interfere no jeito dela, influencia apenas para descer ou subir.

Quanto à problemas que envolvem saber se a reta dada pela questão intersepta a função, isso só não acontece(a reta interseptar a função) se a reta for paralela ao eixo da função trigonométrica.
No caso, a reta y=5 por exemplo não intersepta a função f(x) = sen x + cos x

Vou tentar encontrar um jeito de resolver
a . sen(n.x)+b . cos(m.x)=c

Nossa, muito obrigado Matador.

Pelo que entendi, se considerar o ângulo "beta" como complementar e fazer as mudanças em função dele, pode se escrever a função como r.sen(x+beta)=c?

A minha dúvida era mais conhecer mesmo onde encontrar o máximo, aí encontrar retas que interceptam fica tranquilo.

E o período de uma função f(x)=sen(nx)+cos(mx)

Mas observando graficamente, vi que o que prevalece será a função
que tem o maior período, ou a que tem o m, n (não sei como se chama esses números que antecedem os "x")... menor.
O que faz sentido, já que a função com o "multiplicador" de x menor, irá "demorar" mais para completar o ciclo.

Agora queria tentar entender quantos pontos críticos há num período numa função desse tipo, mas sem usar nada que não seja comum do Ensino Médio.
Somente usando alguma lógica ou dedução, mas está meio bloqueado na minha mente.

Até \o/

Correto.

A função:
f(x)=a sen (x) + b cos (x)

alpha = arctan(a/b)
beta = arctan(b/a)
r=√(a²+b²)

Pode ser reescrita tanto como:
f(x)=r . cos (x- alpha)
ou como
f(x)=r . sen (x+beta)

As funções são iguais. Caso entre para um curso de exatas(onde tem calculo), simplificar as equações pode ser uma mão na roda.
Serve também para provas, ganha agilidade e tempo.
É interessante notar que o importante não é como é escrito a função, mas o raciocínio utilizado para resolução.

Mefistófeles escreveu:Agora queria tentar entender quantos pontos críticos há num período numa função desse tipo, mas sem usar nada que não seja comum do Ensino Médio

Essa parte eu não entendi. O que seriam pontos críticos?

Sim, no futuro vou me aprofundar nesses conhecimentos.
Só conheço a iniciação de cálculo, o básico de derivadas.
Mas não gosto muito de usar porque acho que é usar "cheat" HAHA.
Os pontos críticos, como os máximos e mínimos, onde a reta que passa tangente à função nesses pontos, tem coeficiente angular igual a zero.
Uma função sen x, tem dois, o máximo e o mínimo.
Porém quando vai se somando outras funções, isso muda.
Com derivadas é possível descobri-los, mas já foge do que padrão no Ensino Médio.
Mas isso é mais a nível de curiosidade mesmo.