Critério de divisibilidade

(Argentina-96) Quantos números de 15 dígitos que utilizam exclusivamente os dígitos 3 e 8 são múltiplos de 11? 

Resposta

Spoiler:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Regra de divisibilidade por 11

Soma dos termos de ordem impar - soma dos termos de ordem par = múltiplo de 11

Múltiplos de 11: 0, ±11, ±22, ±33, .. etc

Exemplos

121 ---> 1 + 1 - 2 = 0 ---> 121 é divisível por 11

979 ---> 9 + 9 - 7 = 11 --> 979 é divisível por 11

Tente completar

São oito os dígitos de ordem ímpar (grupo I). São sete os dígitos de ordem par (grupo P).

O caso com apenas dígitos 3 é trivial (um dígito 3 a mais no lado do I), daí sabemos que não é múltiplo de 11.

Se tivéssemos apenas um dígito 8, os quatorze dígitos 3 estariam distribuídos em uma dessas formas:

- sete dígitos 3 em I e sete dígitos 3 em P (o 8 em I)
- oito dígitos 3 em I e seis dígitos 3 em P (o 8 em P)

Em ambos os casos a soma dos dígitos de cada grupo seria diferente de zero ou de um múltiplo de 11.

Com dois dígitos 8:

-  os dois em P (soma de I é 24, soma de P é 31).
- um em cada (soma de I é 29, soma de P é 26).
- os dois em I (soma de I é 34, soma de P é 21).

Com três dígitos 8:

-  os três em P (soma de I é 24, soma de P é 36).
- dois em P (soma de I é 29, soma de P é 31).
- um em P (soma de I é 34, soma de P é 26).
- nenhum em P (soma de I é 39, soma de P é 21).

Com quatro dígitos 8:

-  os quatro em P (soma de I é 24, soma de P é 41).
- três em P (soma de I é 29, soma de P é 36).
- dois em P (soma de I é 34, soma de P é 31).
- um em P (soma de I é 39, soma de P é 26).
- nenhum em P (soma de I é 44, soma de P é 21).

É fácil perceber que a soma final de I está aumentando em 5 e a soma inicial de P está aumentando em 5 (e o restante é quase sempre o mesmo).

Com cinco dígitos 8 teríamos as somas:
24 e 46
29 e 41
34 e 36
39 e 31
44 e 26
49 e 21
Sem casos.

Com seis dígitos 8 teríamos as somas:
24 e 51
29 e 46
34 e 41
39 e 36
44 e 31
49 e 26
54 e 21 (opa!!) -> a diferença é 33, que é múltiplo de 11.
Portanto temos seis dígitos 8 em I e nenhum em P.
De quantas formas podemos posicionar os seis dígitos 8 em I? Em P só existe uma forma (é tudo 3).
A resposta é 28.

Com sete dígitos 8 teríamos as somas:
24 e 56
29 e 51 (opa!!)
34 e 46
39 e 41
44 e 36
49 e 31
54 e 26
59 e 21
Portanto temos um dígito 8 em I e seis dígitos 8 em P.
De quantas formas podemos fazer isso?
Para I temos 8 possibilidades e para P temos 7 possibilidades (basta pensar na posição do único 3).
São então 56 possibilidades.

A partir de agora lembramos que o limite de dígitos 8 em P é sete. E também que o máximo valor para I é 64 (oito vezes oito).

Com oito dígitos 8:

29 e 56
34 e 51
39 e 46
44 e 41
49 e 36
54 e 31
59 e 26 (opa!!)
64 e 21
Portanto temos sete dígitos 8 em I e um dígito 8 em P.

De quantas formas podemos fazer isso? Em P há sete formas de colocar o único dígito 8. Em I temos oito posições para colocar o único digito 3. São 56 possibilidades.

Com nove dígitos 8:

34 e 56 (opa!!)
Sabemos pelos padrões que não haverá mais casos (a diferença está variando em 10 a cada vez).
Portanto temos dois dígitos 8 em I e sete dígitos 8 em P.

De quantas formas podemos colocar os dois dígitos 8 entre os oito dígitos de I?
São 28 possibilidades.

Com dez dígitos 8:

39 e 56
44 e 51
49 e 46
54 e 41
59 e 36
64 e 31 (opa!!)
Portanto temos oito dígitos 8 em I e dois dígitos 8 em P.
De quantas formas podemos fazer isso?
Para I só existe uma forma. Para P existem 21 possibilidades.

Com onze dígitos 8:

44 e 56
49 e 51
54 e 46
59 e 41
64 e 36
Sem casos.

Com doze dígitos 8:

49 e 56
54 e 51
59 e 46
64 e 41
Sem casos.

Com treze dígitos 8:

54 e 56
59 e 51
64 e 46
Sem casos.

Com quatorze dígitos 8:

59 e 56
64 e 51
Sem casos.

Com quinze dígitos 8:
64 e 56
Sem casos.

28 + 56 + 56 + 28 + 21 = 189 possibilidades

OBS: Veja o que o Elcio disse sobre a diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e os termos de ordem par ser um múltiplo de 11.