(Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
4 participantes
Página 1 de 1
(Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Questão 159) Um artista, para economizar, pretende saber a quantidade exata de tinta que usará para pintar uma tela quadrada com 1 m de comprimento. Sua arte é composta de um setor circular inscrito no quadrado com centro no ponto A, como na figura.
Além disso, ele fará uma divisão no quadrado traçando um segmento do ponto médio E ao ponto C, e denotando por F a intersecção deste segmento com o limite do setor circular, traça um segmento FG formando um triângulo retângulo FGC, sendo esta a única região a qual ele pintará com uma tinta rara. A razão da área que o artista pintará com a tinta rara em relação a área total da tela será:
a) 4,0%
b) 6,25%
c) 9,0%
d) 12,5%
e) 21,5%
Além disso, ele fará uma divisão no quadrado traçando um segmento do ponto médio E ao ponto C, e denotando por F a intersecção deste segmento com o limite do setor circular, traça um segmento FG formando um triângulo retângulo FGC, sendo esta a única região a qual ele pintará com uma tinta rara. A razão da área que o artista pintará com a tinta rara em relação a área total da tela será:
a) 4,0%
b) 6,25%
c) 9,0%
d) 12,5%
e) 21,5%
Papanico- Iniciante
- Mensagens : 27
Data de inscrição : 14/02/2023
Idade : 23
Localização : Maceió Alagoas
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Resolvendo por GA:
Seja um sistema xOy com A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0,1) e E(0, 1/2)
Equação reta EC que passa por E(0, 1/2) e tem coeficiente angular m = 1/2:
y - 1/2 = (1/2).(x - 0) ---> y = x/2 + 1/2 ---> I
Equação do arco circunferência: x² + y² = 1 ---> II
Ponto G(xF, yF) --> I em II --> xF² + (xF/2 + 1/2)² = 1 --> Resolvendo -->
xF = 0,6 --> xG = 0,6 --> CG = CD - xG --> CG = 1 - 0,6 --> CG = 0,4
I ---> yF = 0,6/2 + 1/2 ---> yF = 0,8 ---> FG = 1 - 0,8 ---> FG = 0,2
Área do triângulo retângulo CGF ---> St = CG.FG/2 ---> Complete
Seja um sistema xOy com A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0,1) e E(0, 1/2)
Equação reta EC que passa por E(0, 1/2) e tem coeficiente angular m = 1/2:
y - 1/2 = (1/2).(x - 0) ---> y = x/2 + 1/2 ---> I
Equação do arco circunferência: x² + y² = 1 ---> II
Ponto G(xF, yF) --> I em II --> xF² + (xF/2 + 1/2)² = 1 --> Resolvendo -->
xF = 0,6 --> xG = 0,6 --> CG = CD - xG --> CG = 1 - 0,6 --> CG = 0,4
I ---> yF = 0,6/2 + 1/2 ---> yF = 0,8 ---> FG = 1 - 0,8 ---> FG = 0,2
Área do triângulo retângulo CGF ---> St = CG.FG/2 ---> Complete
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71804
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Giovana Martins e Papanico gostam desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Um jeito por geometria plana:
[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EDG:EG=\sqrt{(1)^2+\left ( \frac{1}{2} \right )^2}\ \therefore\ EG=\frac{\sqrt{5}}{2}\ \therefore\ [cos(\theta),sin(\theta)]=\left ( \frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5} \right )}\\\\ \mathrm{Lei\ dos\ Cossenos\ no\ \Delta AEF:R^2=(AE)^2+(EF)^2-2\cdot AE\cdot EF\cdot cos(90^{\circ}+\theta)}\\\\ \mathrm{1=\frac{1}{4}+z^2+\frac{z\sqrt{5}}{5}, dado\ que\ cos(90^{\circ}+\theta)=-sin(\theta)\ \therefore\ z=\frac{3\sqrt{5}}{10}}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EFH:(1-2x)^2+\left ( \frac{1}{2}-x \right )^2=\left ( \frac{3\sqrt{5}}{10} \right )^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=\frac{4}{5}}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]
[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EDG:EG=\sqrt{(1)^2+\left ( \frac{1}{2} \right )^2}\ \therefore\ EG=\frac{\sqrt{5}}{2}\ \therefore\ [cos(\theta),sin(\theta)]=\left ( \frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5} \right )}\\\\ \mathrm{Lei\ dos\ Cossenos\ no\ \Delta AEF:R^2=(AE)^2+(EF)^2-2\cdot AE\cdot EF\cdot cos(90^{\circ}+\theta)}\\\\ \mathrm{1=\frac{1}{4}+z^2+\frac{z\sqrt{5}}{5}, dado\ que\ cos(90^{\circ}+\theta)=-sin(\theta)\ \therefore\ z=\frac{3\sqrt{5}}{10}}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EFH:(1-2x)^2+\left ( \frac{1}{2}-x \right )^2=\left ( \frac{3\sqrt{5}}{10} \right )^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=\frac{4}{5}}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7651
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Medeiros, Marcuslevy e Papanico gostam desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar .
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7651
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Medeiros e Papanico gostam desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Giovana Martins escreveu:Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar :oops: :P .
Tem sim, Giovana.
Você começou muito bem com a semelhança de triângulos obtendo y=2x (eq. 1).
Depois disto, complete o círculo e trace o prolongamento de FH até o outro lado do círculo cruzando o raio AB no ponto J. Então aplique potência do ponto J em relação ao círculo (teorema das cordas). Obtém
(2 - y).y = (1 - x)² ........ eq. 2
(1) em (2) -----> x=.... -----> y=.....
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Giovana Martins e Papanico gostam desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Medeiros escreveu:Giovana Martins escreveu:Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar .Tem sim, Giovana.Você começou muito bem com a semelhança de triângulos obtendo y=2x (eq. 1).Depois disto, complete o círculo e trace o prolongamento de FH até o outro lado do círculo cruzando o raio AB no ponto J. Então aplique potência do ponto J em relação ao círculo (teorema das cordas). Obtém(2 - y).y = (1 - x)² ........ eq. 2(1) em (2) -----> x=.... -----> y=.....
Excelente. Amanhã eu vou pegar para fazer desse jeito.
Para ser sincera, eu não ía lembrar desse Teorema das Cordas nunca. Está aí um assunto que eu praticamente não estudei, porque na época ele quase não caía nos vestibulares que eu prestava, daí não tenho o olho treinado para as construções que viabilizam esses teoremas.
Muito obrigada.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7651
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Medeiros e Papanico gostam desta mensagem
Re: (Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf
Muito obrigada, Medeiros. Realmente por potência de ponto fica bem mais elegante a solução e mais ágil.
[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Por\ Pot\hat{e}ncia\ de\ Ponto:IN\cdot NB=NF\cdot NJ}\\\\ \mathrm{(2-2x)\cdot (2x)=(1-x)^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=1}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]
[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Por\ Pot\hat{e}ncia\ de\ Ponto:IN\cdot NB=NF\cdot NJ}\\\\ \mathrm{(2-2x)\cdot (2x)=(1-x)^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=1}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7651
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Medeiros e Papanico gostam desta mensagem
Tópicos semelhantes
» área triângulo obtusângulo c/ 2 vértices numa circunf.
» quadrado circunscrito e héxagono inscrito na circunf.
» quadrado esta inscrito numa circunf
» (Simulado SOMOS) Gravitação
» (Simulado SOMOS) Eletricidade e ponte de Wheatstone
» quadrado circunscrito e héxagono inscrito na circunf.
» quadrado esta inscrito numa circunf
» (Simulado SOMOS) Gravitação
» (Simulado SOMOS) Eletricidade e ponte de Wheatstone
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|