[UNICAMP] Trigonometria

Spoiler:

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{Do\ tri\hat{a}ngulo\ maior\ esquerdo: cos(15^{\circ})=\frac{a/2}{b} \ \therefore\ b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}\\\\ \mathrm{Para\ (\alpha ,\beta ) =(360^{\circ},15^{\circ}):cos(345^{\circ})=1\cdot cos(15^{\circ})+0\cdot sin(15^{\circ})=cos(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}=\frac{a}{2cos(345^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Do\ tri\hat{a} ngulo\ maior\ direito:sin(15^{\circ})=\frac{h}{b}\ \therefore\ h=bsin(15^{\circ})=\frac{a}{2}tan(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{\Delta \ maior\ direito\ \sim\ \Delta \ menor\ direito\ (Caso\ A.A.A.)\to \frac{a/4}{a/2}=\frac{c}{h}\ \therefore\ c=\frac{h}{2}}\\\\ \mathrm{\ \therefore\ c=\frac{atan(15^{\circ})}{4}=\frac{atan(195^{\circ})}{4},\ pois\ tan(180^{\circ}+\beta )=tan(\beta )\ \therefore\ Letra\ C}\\\\ [/latex]

Apenas uma consideração:

[latex]\\\mathrm{Veja:tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{1-tan(\alpha )tan(\beta )}\ \therefore\ tan(180^{\circ}+\beta )=\frac{0+tan(\beta )}{1-0}=tan(\beta)}[/latex]

SchwarzRitter escreveu:

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{Do\ tri\hat{a}ngulo\ maior\ esquerdo: cos(15^{\circ})=\frac{a/2}{b} \ \therefore\ b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}\\\\ \mathrm{Para\ (\alpha ,\beta ) =(360^{\circ},15^{\circ}):cos(345^{\circ})=1\cdot cos(15^{\circ})+0\cdot sin(15^{\circ})=cos(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}=\frac{a}{2cos(345^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Do\ tri\hat{a} ngulo\ maior\ direito:sin(15^{\circ})=\frac{h}{b}\ \therefore\ h=bsin(15^{\circ})=\frac{a}{2}tan(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{\Delta \ maior\ direito\ \sim\ \Delta \ menor\ direito\ (Caso\ A.A.A.)\to \frac{a/4}{a/2}=\frac{c}{h}\ \therefore\ c=\frac{h}{2}}\\\\ \mathrm{\ \therefore\ c=\frac{atan(15^{\circ})}{4}=\frac{atan(195^{\circ})}{4},\ pois\ tan(180^{\circ}+\beta )=tan(\beta )\ \therefore\ Letra\ C}\\\\ [/latex]

Apenas uma consideração:

[latex]\\\mathrm{Veja:tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{1-tan(\alpha )tan(\beta )}\ \therefore\ tan(180^{\circ}+\beta )=\frac{0+tan(\beta )}{1-0}=tan(\beta)}[/latex]

Oi Giovana, muito obrigado por dispor-se a enviar a solução dessa questão que é, no mínimo, complicada (é muito difícil hahahahaha).

Fiquei em dúvida especialmente na parte em que você adotou o valor de alpha (15 graus no enunciado) como sendo de 360 graus e beta como 15, na terceira linha da solução. Se não for incômodo, gostaria de saber qual propriedade é utilizada para fazer tal equivalência, pois quebrei minha cabeça um pouco e ainda não entendo o pq de fazer isso    .

Giovana Martins escreveu:

SchwarzRitter escreveu:

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{Do\ tri\hat{a}ngulo\ maior\ esquerdo: cos(15^{\circ})=\frac{a/2}{b} \ \therefore\ b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}\\\\ \mathrm{Para\ (\alpha ,\beta ) =(360^{\circ},15^{\circ}):cos(345^{\circ})=1\cdot cos(15^{\circ})+0\cdot sin(15^{\circ})=cos(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}=\frac{a}{2cos(345^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Do\ tri\hat{a} ngulo\ maior\ direito:sin(15^{\circ})=\frac{h}{b}\ \therefore\ h=bsin(15^{\circ})=\frac{a}{2}tan(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{\Delta \ maior\ direito\ \sim\ \Delta \ menor\ direito\ (Caso\ A.A.A.)\to \frac{a/4}{a/2}=\frac{c}{h}\ \therefore\ c=\frac{h}{2}}\\\\ \mathrm{\ \therefore\ c=\frac{atan(15^{\circ})}{4}=\frac{atan(195^{\circ})}{4},\ pois\ tan(180^{\circ}+\beta )=tan(\beta )\ \therefore\ Letra\ C}\\\\ [/latex]

Apenas uma consideração:

[latex]\\\mathrm{Veja:tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{1-tan(\alpha )tan(\beta )}\ \therefore\ tan(180^{\circ}+\beta )=\frac{0+tan(\beta )}{1-0}=tan(\beta)}[/latex]

Oi Giovana, muito obrigado por dispor-se a enviar a solução dessa questão que é, no mínimo, complicada (é muito difícil hahahahaha).

Fiquei em dúvida especialmente na parte em que você adotou o valor de alpha (15 graus no enunciado) como sendo de 360 graus e beta como 15, na terceira linha da solução. Se não for incômodo, gostaria de saber qual propriedade é utilizada para fazer tal equivalência, pois quebrei minha cabeça um pouco e ainda não entendo o pq de fazer isso    .

Sem problemas, Ritter. A verdade é que era para esta questão ser bem fácil, porém, quem a elaborou de um jeito de complicar ao forçar estes ângulos de 195° e 345°, pois ele te força a lembrar das identidades trigonométricas.

A ideia é a seguinte: da teoria a gente sabe que cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y). Esta é uma fórmula genérica sendo x e y ângulos, certo?

Ao longo da resolução eu vi que b = a/[2cos(15°)]. Veja que as alternativas c e d mostram uma expressão parecida com a que eu cheguei. Ela difere apenas do ângulo. A partir daqui eu resolvi testar tomando 2 valores de ângulos que resultassem em 345° e que envolvesse o ângulo de 15°, pois ele era a única informação da qual eu dispunha. Bom, sendo 360° - 15° = 345°, a partir daqui eu lembrei da identidade trigonométrica acima, pois cos(x - y) = cos(360° - 15°) = cos(345°). A partir daqui eu só expandi o cálculo:

cos(360° - 15°) = cos(360°)cos(15°) + sin(360°)sin(15°) = cos(15°)

A mesma ideia eu utilizei para o cálculo da tangente.

Esta questão é de algum simulado, né? Reconheço esta questão da UNICAMP. Trata-se de uma questão discursiva e que a pessoa pegou e modificou.

Trata-se de uma questão um pouco "antinatural", pois quem a elaborou queria mesmo que você lembrasse das identidades trigonométricas, isto claro, se esta for a única forma de resolver o problema.

Em resumo, eu apenas alterei os ângulos, pois dentre as alternativas não consta como resposta b = a/[2cos(15°)], mas sim o seu equivalente b = a/[2cos(345°)]. O mesmo vale para o valor de c.

Se a dúvida persistir, avise.

SchwarzRitter escreveu:

Giovana Martins escreveu:

SchwarzRitter escreveu:

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{Do\ tri\hat{a}ngulo\ maior\ esquerdo: cos(15^{\circ})=\frac{a/2}{b} \ \therefore\ b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}\\\\ \mathrm{Para\ (\alpha ,\beta ) =(360^{\circ},15^{\circ}):cos(345^{\circ})=1\cdot cos(15^{\circ})+0\cdot sin(15^{\circ})=cos(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:b=\frac{a}{2cos(15^{\circ})}=\frac{a}{2cos(345^{\circ})}}\\\\ \mathrm{Do\ tri\hat{a} ngulo\ maior\ direito:sin(15^{\circ})=\frac{h}{b}\ \therefore\ h=bsin(15^{\circ})=\frac{a}{2}tan(15^{\circ})}\\\\ \mathrm{\Delta \ maior\ direito\ \sim\ \Delta \ menor\ direito\ (Caso\ A.A.A.)\to \frac{a/4}{a/2}=\frac{c}{h}\ \therefore\ c=\frac{h}{2}}\\\\ \mathrm{\ \therefore\ c=\frac{atan(15^{\circ})}{4}=\frac{atan(195^{\circ})}{4},\ pois\ tan(180^{\circ}+\beta )=tan(\beta )\ \therefore\ Letra\ C}\\\\ [/latex]

Apenas uma consideração:

[latex]\\\mathrm{Veja:tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{1-tan(\alpha )tan(\beta )}\ \therefore\ tan(180^{\circ}+\beta )=\frac{0+tan(\beta )}{1-0}=tan(\beta)}[/latex]

Oi Giovana, muito obrigado por dispor-se a enviar a solução dessa questão que é, no mínimo, complicada (é muito difícil hahahahaha).

Fiquei em dúvida especialmente na parte em que você adotou o valor de alpha (15 graus no enunciado) como sendo de 360 graus e beta como 15, na terceira linha da solução. Se não for incômodo, gostaria de saber qual propriedade é utilizada para fazer tal equivalência, pois quebrei minha cabeça um pouco e ainda não entendo o pq de fazer isso    .

Sem problemas, Ritter. A verdade é que era para esta questão ser bem fácil, porém, quem a elaborou de um jeito de complicar ao forçar estes ângulos de 195° e 345°, pois ele te força a lembrar das identidades trigonométricas.

A ideia é a seguinte: da teoria a gente sabe que cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y). Esta é uma fórmula genérica sendo x e y ângulos, certo?

Ao longo da resolução eu vi que b = a/[2cos(15°)]. Veja que as alternativas c e d mostram uma expressão parecida com a que eu cheguei. Ela difere apenas do ângulo. A partir daqui eu resolvi testar tomando 2 valores de ângulos que resultassem em 345° e que envolvesse o ângulo de 15°, pois ele era a única informação da qual eu dispunha. Bom, sendo 360° - 15° = 345°, a partir daqui eu lembrei da identidade trigonométrica acima, pois cos(x - y) = cos(360° - 15°) = cos(345°). A partir daqui eu só expandi o cálculo:

cos(360° - 15°) = cos(360°)cos(15°) + sin(360°)sin(15°) = cos(15°)

A mesma ideia eu utilizei para o cálculo da tangente.

Esta questão é de algum simulado, né? Reconheço esta questão da UNICAMP. Trata-se de uma questão discursiva e que a pessoa pegou e modificou.

Trata-se de uma questão um pouco "antinatural", pois quem a elaborou queria mesmo que você lembrasse das identidades trigonométricas, isto claro, se esta for a única forma de resolver o problema.

Em resumo, eu apenas alterei os ângulos, pois dentre as alternativas não consta como resposta b = a/[2cos(15°)], mas sim o seu equivalente b = a/[2cos(345°)]. O mesmo vale para o valor de c.

Se a dúvida persistir, avise.

Muito obrigado, esclareceu todas minhas dúvidas.

Eu encontrei a questão na apostila de matemática n.2 do Poliedro, caso permaneça a curiosidade. Dá para encontrar facilmente o material na internet, caso não tenha ainda.