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Critério de divisibilidade

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Critério de divisibilidade Empty Critério de divisibilidade

Mensagem por Gregorio Tomas S Gonzaga Dom 01 Jul 2012, 09:51

Pessoal, tenho um problema pra compartilhar com vocês:

mostrar que é divisível por 30, para todo n inteiro

Amigos, pela fatoração temos que



onde n(n-1)(n+1) é o produto de 3 inteiros consecutivos o que nos revela um múltiplo de 6, mas como concluir que há uma parcela 5k?
Como seria a prova formal desse problema?

Gregorio Tomas S Gonzaga
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Critério de divisibilidade Empty Re: Critério de divisibilidade

Mensagem por Robson Jr. Dom 01 Jul 2012, 11:13

Todo número N pode ser escrito na forma N = 5d + k, sendo "d" um natural e k o resto de N na divisão por 5.

Aplicando a decomposição de N = 5d + k na expressão fatorada, vem:

N^5 - N = (5d + k - 1)(5d + k)(5d + k + 1)(25d² + 2k + k² + 1)

N^5 - N = [5d + (k - 1)][5d + k][5d + (k + 1)][25d² + (k + 1)²]

Repare que no polinômio acima só existe uma combinação de parcelas que não pega um múltiplo de 5, qual seja:

(k - 1)k(k+1)(k+1)²

Podemos, portanto, reescrever o polinômio como segue:

N^5 - N = (ALGO MÚLTIPLO DE 5) + k(k - 1)(k+1)(k+1)²
N^5 - N = (ALGO MÚLTIPLO DE 5) + k^5 - k

Só precisamos provar que k^5 - k é múltiplo de 5. Pode parecer que andamos em círculos, mas não se engane: k é o resto na divisão por 5, ou seja, só pode pertencer ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4}.

Se k = 0: 0^5 - 0 = 0 ⇒ múltiplo de 5.
Se k = 1: 1^5 - 1 = 0 ⇒ múltiplo de 5.
Se k = 2: 2^5 - 2 = 30 ⇒ múltiplo de 5.
Se k = 3: 3^5 - 3 = 240 ⇒ múltiplo de 5.
Se k = 4: 4^5 - 4 = 1020 ⇒ múltiplo de 5.

Então fica provado que que k^5 - k é múltiplo de 5 e, consequentemente, que N^5 - N é múltiplo de 5.

Como a forma fatorada de N^5 - N envolve o produto de 3 números consecutivos, N^5 - N é divisível por 6.

Se N^5 - N é divisível por 5 e 6, N^5 - N é divisível por 30.

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